Projektívny priestor a kužeľosečky

Kolineácia projektívnej roviny

Matica kolineácie

Pre body projektívnej roviny

$\small \overline{\mathbb{E}}_2$ definujeme zobrazenie (transformáciu) tejto projektívnej roviny

$\small T_k$ , ktoré bude zobrazovať body

$\small P(p_1, p_2, p_3) \in \overline{\mathbb{E}}_2$ pomocou obrazov súradníc. Nech

$\small \mathcal{K}$ je regulárna matica stupňa 3. Potom obrazom bodu

$\small P$ v zobrazení

$\small T_k$ budeme rozumieť bod

$\small Q(q_1, q_2, q_3) \in \overline{\mathbb{E}}_2$ , pre ktorý platí:

(*)

$\small \quad \left(\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & j \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{matrix}\right)$

Budeme teda skúmať zobrazenie, ktoré bude zobrazovať trojice reálnych čísel na trojice reálnych čísel. Symbolicky

$\small T_c: \;\mathbf R^3 \rightarrow \mathbf R^3$ je zobrazenie definované rovnosťou (*). Zobrazenie

$\small T_k$ má nasledovné vlastnosti

Ak $\small ( p_1, p_2, p_3) \neq (0,0,0)$ , tak aj $\small ( q_1, q_2, q_3) \neq (0,0,0)$ .
$\small T_k(\lambda p_1, \lambda p_2, \lambda p_3) =( \lambda q_1, \lambda q_2, \lambda q_3)=\lambda (q_1, q_2, q_3)$ , trojici homogénnych súradníc bodu $\small P$ priradí trojicu homogénnych súradníc bodu $\small Q$ .
Lineárnu kombináciu usporiadaných trojíc zobrazí opäť na ich lineárnu kombináciu.

Hovoríme, že zobrazenie $\small T_k$ je analytickým vyjadrením kolineácie a daná kolineácia je určená maticou

$\small \mathcal{K}=\left(\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & j \end{matrix}\right)$

Riešený príklad (Určenie matice kolineácie).
Dané sú (po troch nekolineárne) body

$\small A, B, C, D$ , ktorých homogénne súradnice sú

$\small A = (1, 0, -1), B = (1, 1, 0)$ ,

$\small C = (1, 0, 1), D = (1, -1, 0)$ . Nájdite rovnice kolineácie, ktorá zobrazí bod

$\small A$ na bod

$\small B$ ,

$\small B$ na

$\small C$ ,

$\small C$ na

$\small D$ a

$\small D$ na

$\small A$ .

Riešenie.

Rovnice (a teda aj maticu) kolineácie $\small \mathcal{K}$ budeme poznať, ak vypočítame koeficienty matice $\small K$ zobrazenia small $\small \mathcal{K}$ .
Musí platiť $\small A = (1, 0, -1)\rightarrow B = (1, 1, 0)$ , $\small B = (1, 1, 0)\rightarrow C = (1, 0, 1)$ , ...
To odpovedá rovniciam $\small K \times (1, 0, -1) + \lambda_k \cdot (1, 1, 0)=0$ , ... , kde $\small K = \left(\begin{matrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & j\end{matrix}\right)$ je hľadaná matica a $\lambda_k$ sú násobky homogénnych súradníc odpovedajúcich bodov.
Po roznásobení dostaneme 12 rovníc (4 dvojice odpovedajúcich bodov $\small \times$ trojice súradníc) s 13-timi neznámymi $\small a,b, \dots, j,\; k,l,m,n$ :

$\small \begin{matrix} a-c=k \\ d-f=k \\ g-j=0 \\ a+b=l \\ d+e=0 \\ g+h=l \\ a+c=m \\ \quad d+f=-m \\ g+j=0 \\ a-b=n \\ d-e=0 \\ \;\; g-h=-n \end{matrix}$

Matica tejto sústavy má tvar

$\small\left(\begin{matrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & k & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & k & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & l & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & l & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & m & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -m & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & n & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -n & 0 \end{matrix}\right)$

Riešením je matica kolineácie

$\lambda\cdot \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right)$

Urobte skúšku správnosti a vytvorte zodpovedajúci applet.

$<span class="nolink">$\small .$ $