Projektívny priestor a kužeľosečky

Priamka v projektívnej rovine

Všeobecná rovnica priamky

Nech sú dané dva rôzne body

$\small A,B$ projektívnej roviny

$\small \overline{\mathbb{E}}_2$ a ich homogénne súradnice

$\small A=[a_0,a_1,a_2]$ ,

$\small B=[b_0,b_1,b_2]$ . Pre súradnice ľubovoľného bodu

$\small X=[x,y,z]$ priamky

$\small p=\overleftrightarrow{AB}$ platí

[LinKom]

$\small \forall X \in p \; \exists ( k_0, k_1) \in \mathrm R \times \mathrm R;\; X= k_0 A + k_1B$ .

lineárna kombinácia bodov

Po dosadení súradníc bodu

$\small X$ a po úprave dostaneme sústavu troch rovníc

[ParRov]

$\small \begin{array}{c} x = k_0a_0 + k_1b_0\\ y = k_0a_1 + k_1b_1\\ z = k_0a_2 + k_1b_2, \end{array}$

parametrické vyjadrenie

kde

$\small k_0, k_1 \in \mathrm R, k^2_0 + k^2_1 \neq 0$ . Sústavu rovníc [ParRov] nazývame parametrické vyjadrenie projektívnej priamky určenej bodmi

$\small A,B$ . Bod

$\small X=[x,y,z]$ priamky

$\small p=\overleftrightarrow{AB}$ je lineárne závislý od bodov

$\small A,B$ . Preto matica

$\small \mathbf X=\left( \begin{array}{ccc} x & y & z\\ a_0 & a_1 & a_2\\ b_0 & b_1 & b_2 \end{array}\right)$

má hodnosť 2 a determinant

$\small \left| \mathbf X \right|$ tejto matice musí byť rovný nule. Rozvinutím determinantu

$\small \left| \mathbf X \right|$ podľa prvého riadku získame rovnicu s tromi neznámymi

$\small x,y,z$

[VseoRov]

$\small ax+by+cz=0,\quad a=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}, \quad b=-\begin{vmatrix} a_0 & a_2 \\ b_0 & b_2 \end{vmatrix}, \quad c=\begin{vmatrix} a_0 & a_1 \\ b_0 & b_1 \end{vmatrix}$

všeobecná rovnica

Rovnicu [VseoRov] nazývame všeobecná rovnica projektívnej priamky určenej bodmi $A=[a_0,a_1,a_2]\], $B=[b_0,b_1,b_2]\].

$<span class="nolink">$ .$ $