Projektívny priestor a kužeľosečky

Cvičenie.
Riešte úlohy .

1. Lineárna závislosť bodov
   1. Dokážte, že lineárna závislosť, resp. lineárna nezávislosť bodov projektívnej roviny $\small \overline{\mathbb{E}}_3$ nezávisí od výberu reprezentantov týchto bodov.
   2. O nasledujúcich množinách bodov zistite, či sú lineárne závislé resp. nezávislé. Body sú určené svojimi reprezentantmi:
      • $\small A_1 = (-1, 2, -6.4)$, $\small A_2 = (3, -6, 19.2)$, $\small A_3 = (0, 1, 1)$;
      • $\small A_1 = (2,3,-2)$, $\small A_2 = (1,2,-4)$, $\small A_3 = (0, 1, -6)$.
   3. Trojica bodov $\small O_0 = [1,0,0]$, $\small O_1 = [0,2,0]$, $\small O_2 = [0,0,1]$ je zrejme lineárne nezávislá. Každý bod $\small X$ projektívnej roviny tvorí s takouto trojicou množinu lineárne závislých bodov. Preto ho možno vyjadriť ako lineárnu kombináciu
      $\small X = \rho_0 O_0 + \rho_1 O_1 + \rho_2 O_2.$
      Určite reprezentantov $(\rho_0,0,0), (0,\rho_1,0), (0,0,\rho_2)$ bodov $\small O_0, O_1, O_2$ tak, aby bod $\small Q = (2, 1, -3)$ mal vyjadrenie $(\small Q = (\rho_0,0,0) - (0,\rho_1,0) + 2(0,0,\rho_2),$ a zároveň, aby čísla $\small \rho_i$ boli racionálne. Pozri prácu [CIZ, 1984], str. 29.
   4. Ukážte, že body s reprezentantmi $\small (a) = (2, 3,-2)$, $\small (b) = (1, 2, -4)$, $\small (c) = (0, 1, -6)$ incidujú s jednou priamkou. Určite $\lambda, \mu$ tak, aby $\small  (a) = \lambda (b) + \mu (c).$ Určite $\small t$ v trojici $\small (4, -1, t)$ tak, aby bod s týmto reprezentantom incidoval s priamkou $\small (ab)$ a nájdite $\sigma, \tau$ tak, aby $\small (4, -1, t) = \sigma (a) + \tau (b).$.

Riešte úlohy zo Zbierky [MON], kapitola: VYJADRENIE PRIAMKY V HOMOGÉNNYCH SÚRADNICIACH.

1. Úloha 6.1.1.
   Body dané karteziánskymi súradnicami vyjadrite pomocou homogénnych súradníc:
   $\small A[0;0], B[1;0], C[0;1], D[1;1], E[3;-2], F[-4;-3]$
2. Úloha 6.1.2.
   Vyjadrite homogénne súradnice nevlastných bodov priamok $\small  p, q, r$: 
   $\small p: x-2y+1=0$
   $\small q: 3x+4y+2=0$
   $\small r: -5x+y-6=0$
3. Úloha 6.1.3.
   Vypočítajte súradnice nevlastného bodu projektívnej priamky $\small AB$, ak $\small A[1;-1;3]_h, B[2;4;7]_h$
4. Úloha 6.1.4.
   Napíšte rovnicu priamky v homogénnych súradniciach, ak v karteziánskych má rovnicu:
   a) $\small x+3y-4=0$
   b) $\small 2x-5y+1=0$
   c) $\small 3x-2y=0$
5. Úloha 6.1.5.
   Samodružný bod afinnej transformácie, ktorá je daná rovnicami:
   $\small x'=2x-y+1$
   $\small y'=x+3y+2$
   vyjadrite homogénnymi súradnicami.
6. Úloha 6.1.6.
   Rovnicu kružnice $\small x^2+y^2=4$ napíšte v homogénnych súradniciach a uveďte homogénne súradnice aspoň jedného jej bodu.
7. Úloha 6.1.7.
   V $\small \overline{\mathbb{E}}_2$ určte spoločné body kružnice $\small x^2+y^2=1$ a nevlastnej priamky.
8. Úloha 6.1.8.
   Napíšte:
   a) všeobecnú rovnicu,
   b) parametrické vyjadrenie projektívnej priamky $\small AB$, ak $\small A[2;3;1]_h, B[7;-2;2]_h$
9. Úloha 6.1.9.
   Dokážte, že v projektívnej rovine sa každé dve rôzne priamky pretínajú práve v jednom bode.
10. Úloha 6.1.10.
    Dokážte, že každý bod projektívnej priamky $\small s: z=0$ je nevlastný.