Projektívny priestor a kužeľosečky

Prvý dôsledný koncept homogénnych súradníc zaviedol Jean-Victor Poncelet (1788–1867), ktorý ako vojnový zajatec vo Voroneži písal svoj slávny „Traité des propriétés projectives des figures“. Homogénne súradnice mu umožnili študovať vlastnosti geometrických útvarov nezávisle od euklidovskej metriky – čím položil základy modernej projektívnej geometrie.

Homogénna sústava súradníc v projektívnej rovine $\small  \overline{\mathbb{E}}_2$ je rozšírením karteziánskej súradnicovej sústavy euklidovskej roviny $\mathbb E^2$.

Nech bod $A \in \mathbb E^2$je (jednoznačne) určený karteziánskymi súradnicami $\small  x_A,y_A \in \mathbb R$. Teda nech platí $\small A=[a_1,a_2]$. Avšak bez ujmy na obecnosti môžeme takýto bod reprezentovať aj usporiadanou trojicou reálnych čísel. Vyslovíme základnú definíciu pre homogénne súradnice najskôr vlasrného a potom aj nevlastného bodu.

Definícia.
Homogénnymi súradnicami vlastného bodu $\small A$ projektívnej roviny $\overline{\mathbb{E}}_2$ rozumieme každú usporiadanú trojicu $\small [a_1, a_2, a_3], a_0 \neq 0$, pre ktorú platí 

1. Z definície vyplýva, že každý vlastný bod projektívnej roviny $\small  \overline{\mathbb{E}}_2$ má nenulovú súradnicu $a_3$. 
2. Základný tvar homogénnych súradníc} vlastného bodu $\small A$ projektívnej roviny $\small  \overline{\mathbb{E}}_2$ prestavuje usporiadanú trojicu reálnych čísel $\small A= [a_1,a_2,1]$.

Skúmajme aké súradnice bude mať nevlastný bod $\small U_\infty$ euklidovskej roviny $\small \mathbb E^2$. Teda aké súradnice bude mať ideálny bod projektívnej roviny $\small \overline{\mathbb{E}}_2$. Definícia ideálneho bodu hovorí, že ideálny bod je jednorozmerný vektorový podpriestor. Bod $\small U_\infty$ môžeme chápať ako množinu $\small \pmb u = \left\{ k . \vec u; k \in \mathrm R \right\}$, kde $\vec u$ je smerový vektor nejakej priamky s nevlastným bodom $\small U_\infty$. Pozrite si projekt "Vysvetlenie homogénnych súradníc a projektívnej geometrie"

Reprezentantom vektora (smeru nevlastného bodu) $\small  \vec u$ je orientovaná úsečka $\small \overrightarrow{BC}$ určená koncovými bodmi $\small B, C$. Homogénne súradnice smeru reprezentujúceho nevlastný bod $\small U_\infty$ získame rozdielom homogénnych súradníc koncových bodov vektora, ktorý je jeho zvoleným reprezentantom. Dostaneme rovnosť Všimnime si dôležitú skutočnosť.
Body $\small B, C$ sú vlastné a teda ich tretia homogénna súradnica je rovná číslu 1 a ich rozdiel bude vždy nulový. To predstavuje tretiu homogénnu súradnicu ideálneho bodu projektívnej roviny. Z uvedeného vyplýva, že reprezentant nevlastného bodu je jednoznačne určený každou usporiadanou dvojicou $\small [u_1,u_2]$, pre ktorú platí $\small u_1=k \dot (c_1-b_1),u_2=k \dot (c_2-b_2)$. To umožňuje definovať homogénne súradnice ideálneho bodu projektívnej roviny $\small \overline{\mathbb{E}}_2$.

Definície.
Homogénne súradnice ideálneho bodu projektívnej roviny $\small \overline{\mathbb{E}}_2$ (nevlastného bodu $\small U_\infty$ euklidovskej roviny) sú určené trojicou kde $\small [u_1,u_2] \in \mathrm R \times \mathrm R$ sú karteziánske súradnice zvoleného reprezentanta nevlastného bodu (smeru) a tretia súradnica je rovná 0.

Homogénnymi súradnicami bodu  projektívnej roviny $\small  \overline{\mathbb{E}}_2$ rozumieme usporiadanú trojicu kde $\small  k \in \mathrm{R} - \left\{0 \right\}$ a $[kx, ky, kz] \neq [0, 0, 0]$. 

Poznámka. Homogénne súradnice ideálneho bodu si môžete predstaviť ako priesečník dvoch rovnobežných priamok. Nasledujúci applet umožňuje vizualizovať problém homogénnych súradníc nevlastného bodu.

Applet si stiahnete Tu.