Projektívny priestor a kužeľosečky

Každý, kto niekedy kreslil 3D kocku na papier, intuitívne použil princíp stredovej kolineácie. Prečo sa kocka javí ako „skreslená“?  Stredová kolineácia vystihuje zobrazenie z priestoru na rovinu – tak, ako ho poznáme z fotografie, maľby či architektúry. Je to most medzi euklidovskou geometriou a vizuálnym vnímaním priestoru. Viac o kolineácii nájdete v kurze z Planimetrie Tu.

Definícia (Stredová kolineácia medzi dvoma rovinami).
Nech sú dané dve rôzne roviny $\alpha, \alpha'$ a bod $\small S$, ktorý neleží ani v jednej z nich.

1. Stredová kolineácia je bijektívne zobrazenie dvoch rovín, pri ktorom každému bodu prvej roviny odpovedá jeho priemet zo stredu $\small S$ do roviny druhej. Používa sa aj termín perspektívna kolineácia. 
2. Stred premietania $\small S$ sa nazýva stred kolineácie. Priamku $o$, priesečnicu rovín $\alpha, \alpha'$, nazývame osou stredovej kolineácie.

Obr. Stredová kolineácia, applet Tu.

Cvičenie. V perspektívnej kolineácii $\mathcal{K}(S, o, A \rightarrow A')$ zostrojte obe úbežnice.

Obr. Úbežnice, otvorte si zadanie Tu.          Tu. Obraz bodu v rovine Tu.  Nástroj v GeoGebre pre kolineáciu si stiahnite Tu.

Definícia (Deliaci pomer v projektívnej rovine $\pi$). 
Nech $\small A,B$ sú dva rôzne vlastné body priamky $p$ a nech $\small C$ je ľubovoľný bod tej istej priamky $p$.

1. Ak je bod $\small C$ vlastný, potom označíme $\small \lambda_C  = \frac {|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{BC}|}$.
2. Ak je bod $\small C$ nevlastný, potom je $\lambda_C  = 1$.

Obr. Deliaci pomer bodov $\small A,B,C$, otvorte si interaktívny applet Tu.

$\small (ABC_∞ )=\displaystyle\lim_{C\to\infty} \frac {|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{BC}|} =1$.

Veta(Pappova).
Dvojpomer sa stredovým premietaním nemení.

Definícia(Dvojpomer).
Nech $\small A, B, C, D$ sú štyri navzájom rôzne body priamky $p$

1. Ak body $\small A,B$ sú vlastné. Potom pomer $\mu = \frac {\lambda_C }{\lambda_D }$, kde $\lambda_C, \lambda_D$ sú deliace pomery bodov $\small C,D$ vzhľadom k bodom $\small A,B$, se nazýva dvojpomer bodov $\small A, B, C, D$ v tomto poradí a značí sa $\small \mu = = (ABCD)$. Otvorte si dynamický applet  Tu.
2. Ak niektorý z bodov $\small A,B$ je nevlastný, tak dvojpomer týchto bodov definujeme vzťahom $\small (ABCD) = (CDAB)$. 

Cvičenie.

1. Na priamke $p$ sú dané tri rôzne body $\small A,B,C$. Zostrojte bod $\small D$ tak, aby $\small (ABCD) = µ$, kde µ je dane reálne číslo.
   Pomoc. Položte $\small C = C'$ a na priamke $\small p'$ nájdite body $\small A', B'$ tak, aby $\small (A'B'C') = µ$, $\small S = AA'∩BB'$.
2. Na priamke $\small AB; A[4,-3]3]B[1,2]$ určte súradnice bodu $\small C[c_1,c_2]$ tak, aby $\small (ABC)=\frac {2}{3}$. Potom určte dvojpomer $\small (ABCD_∞ )$.