Projektívny priestor a kužeľosečky

    Prezentácia k tejto téme je voľne dostupná na Overleaf Tu.

Každý, kto niekedy kreslil 3D kocku na papier, intuitívne použil princíp stredovej kolineácie. Prečo sa kocka javí ako „skreslená“?  Stredová kolineácia vystihuje zobrazenie z priestoru na rovinu – tak, ako ho poznáme z fotografie, maľby či architektúry. Je to most medzi euklidovskou geometriou a vizuálnym vnímaním priestoru. Viac o kolineácii nájdete v kurze z Planimetrie Tu.

Definícia (Stredová kolineácia medzi dvoma rovinami).
Nech sú dané dve rôzne roviny $\alpha, \alpha'$ a bod $\small S$, ktorý neleží ani v jednej z nich.

1. Stredová kolineácia je bijektívne zobrazenie dvoch rovín, pri ktorom každému bodu prvej roviny odpovedá jeho priemet zo stredu $\small S$ do roviny druhej. Používa sa aj termín perspektívna kolineácia. 
2. Stred premietania $\small S$ sa nazýva stred kolineácie. Priamku $o$, priesečnicu rovín $\alpha, \alpha'$, nazývame osou stredovej kolineácie.

Obr. Stredová kolineácia, applet Tu.

Cvičenie. V perspektívnej kolineácii $\mathcal{K}(S, o, A \rightarrow A')$ zostrojte obe úbežnice.

Obr. Úbežnice, otvorte si zadanie Tu.          Tu. Obraz bodu v rovine Tu.  Nástroj v GeoGebre pre kolineáciu si stiahnite Tu.

Definícia (Deliaci pomer v projektívnej rovine $\pi$). 
Nech $\small A,B$ sú dva rôzne vlastné body priamky $p$ a nech $\small C$ je ľubovoľný bod tej istej priamky $p$.

1. Ak je bod $\small C$ vlastný, potom označíme $\small \lambda_C  = \frac {|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{BC}|}$.
2. Ak je bod $\small C$ nevlastný, potom je $\lambda_C  = 1$.

Obr. Deliaci pomer bodov $\small A,B,C$, otvorte si interaktívny applet Tu.

$\small (ABC_∞ )=\displaystyle\lim_{C\to\infty} \frac {|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{BC}|} =1$.

Veta(Pappova).
Dvojpomer sa stredovým premietaním nemení.

Definícia(Dvojpomer).
Nech $\small A, B, C, D$ sú štyri navzájom rôzne body priamky $p$

1. Ak body $\small A,B$ sú vlastné. Potom pomer $\mu = \frac {\lambda_C }{\lambda_D }$, kde $\lambda_C, \lambda_D$ sú deliace pomery bodov $\small C,D$ vzhľadom k bodom $\small A,B$, se nazýva dvojpomer bodov $\small A, B, C, D$ v tomto poradí a značí sa $\small \mu = = (ABCD)$. Otvorte si dynamický applet  Tu.
2. Ak niektorý z bodov $\small A,B$ je nevlastný, tak dvojpomer týchto bodov definujeme vzťahom $\small (ABCD) = (CDAB)$. 

Cvičenie.

1. Na priamke $p$ sú dané tri rôzne body $\small A,B,C$. Zostrojte bod $\small D$ tak, aby $\small (ABCD) = µ$, kde µ je dane reálne číslo.
   Pomoc. Položte $\small C = C'$ a na priamke $\small p'$ nájdite body $\small A', B'$ tak, aby $\small (A'B'C') = µ$, $\small S = AA'∩BB'$.
2. Na priamke $\small AB; A[4,-3]3]B[1,2]$ určte súradnice bodu $\small C[c_1,c_2]$ tak, aby $\small (ABC)=\frac {2}{3}$. Potom určte dvojpomer $\small (ABCD_∞ )$.