Historický pohľad na vývoj matematiky

Grécku matematiku podstatne ovplyvnila Pytagorova škola

Pôsobenie Pytagorovej školy malo obrovský vplyv na ďalší rozvoj gréckej matematiky. Pytagorejci presadzovali štúdium kvadrivia - geometrie, aritmetiky, astronómie a hudby.

Pytagorejci číslo 1 považovali za základný stavebný kameň aritmetiky.

1. Tvrdili, že číslo 1 pochádza priamo od Boha ako základ všetkých ďalších čísel.
2. Prirodzené čísla 2, 3, 4, 5, ... boli chápané ako súhrny jednotiek.
3. Pytagorejci považovali číslo 10 (tzv. tetraktýs) za dokonalé, pretože sa skladá zo súčtu prvých štyroch čísel: $\small 1+2+3+4=10$. Tento princíp sa prejavoval v hudbe (štvorica základných intervalov), v geometrii (štvorcová štruktúra) a v kozme (desať nebeských telies v ich systéme).
4. Najdôležitejším geometrickým symbolom Pytagorejcov bola tetraktýs – trojuholníkové usporiadanie desiatich bodov:
   
   Tetraktýs
   Hoci na prvý pohľad vyzerá ako trojuholník, tetraktýs obsahuje štvorec v strede, ktorý symbolizuje stabilitu.
5. Kladné racionálne čísla boli predstavované pomocou pomerov prirodzených čísel.

Porovnajte s Peanovou aritmetikou.

Pytagorejci, ktorí pôsobili v 6. – 5. storočí pred n. l., zaviedli čistú matematickú abstrakciu a zovšeobecnenie.

Pre nás je samozrejmý krok od riešenia konkrétnej úlohy
2 lode + 2 lode = 4 lode
k abstraktnému výsledku
2 + 2 = 4,
ktorý sa vzťahuje nielen na lode, ale i na perá, ľudí, domy atď.

Pytagorejci boli jednou z prvých skupín, ktoré začali vnímať matematiku ako systém založený na abstraktných princípoch. Tento koncept sa prejavoval v niekoľkých aspektoch:

1. Čísla chápali ako princípy reality. Pytagorejci považovali čísla za základ všetkého existujúceho. Napríklad tvrdili, že „všetko je číslo“ a že harmónia sveta je vyjadriteľná číselnými vzťahmi.
2. Symbolické znázornenie čísel. Používali tzv. figurálne čísla, teda číselné vzory usporiadané do geometrických tvarov (trojuholníkové, štvorcové čísla atď.). Tieto tvary predstavovali symboly pre mohutnosť množín (v dnešnej terminológii kardinálne čísla), čo je veľmi silná forma abstrakcie.

Pytagorejci začali ako prví používať symbolické označenia čísel a uvažovali o číslach bez nutnosti ich fyzického prepojenia s konkrétnymi predmetmi. O princípe abstrakcie svedčia aj historicky doložené artefakty. Konkrétne sú to dochované fragmenty spisov Filoláosa a Archytasa o číslach ako princípe usporiadania vesmíru.

Filoláos a Archytas boli významní Pytagorejci, ktorých myšlienky ovplyvnili vývoj abstraktnej matematiky a filozofie. Hoci ich diela sa nezachovali v celku, vieme o nich vďaka neskorším autorom, ako boli Aristoteles, Platón či Simplikios.

1. Filoláos z Krotónu (cca 470 – 385 pred n. l.) bol jedným z prvých Pytagorejcov, ktorí sa pokúsili systematizovať učenie svojej školy a je považovaný za autora prvých písomných záznamov o pytagorejskej filozofii. Tvrdil, že čísla nie sú len nástrojom na počítanie, ale tvoria štruktúru sveta. Ako prvý prišiel s konceptom heliocentrizmu – hoci nepopisoval Slnko ako centrum vesmíru, predpokladal, že Zem nie je v jeho strede, ale obieha okolo „ústredného ohňa“.
2. Archytas z Tarentu (cca 435 – 360 pred n. l.) bol matematik, filozof, štátnik a vynálezca, ktorý sa zaslúžil o vývoj abstraktnej matematiky a mechaniky. Bol priateľom Platóna a významne ovplyvnil jeho myslenie. Archytas rozlišoval medzi aritmetikou (štúdium čísel) a geometriou (štúdium tvarov) a snažil sa ich spojiť do jednej teórie. Zostrojil prvý robot – mechanického vtáka poháňaného parou, čo je považované za prvý známy automat.

Filoláos a Archytas významne prispeli k abstraktnej matematike. Ich myšlienky sa nezachovali priamo, ale ich vplyv možno sledovať v dielach Aristotela, Platóna a neskorších matematických školách. Archytas bol navyše priekopníkom aplikovanej matematiky a mechaniky.

Magickým obrazcom pre Pytagorejcov bol pravidelný päťuholník, v ktorom sa uhlopriečky rozdeľujú v pomere zlatého rezu. Zaujímavá je aj disekcia v päťuholníku, kde sa využíva rozdelenie na 10 zhodných trojuholníkov (pentagon, triangle, tetraktýs).  

Jednotlivé čísla mali podľa Pytagorejcov osobitný význam a moc.

Pytagoras vyhlásil, že základom súcna¹⁾ je číslo (arithmos). Sú mu prisudzované tieto výroky:

1. Čo je najmúdrejšie? - Číslo a potom ten, kto dal veciam mená.
2. Čo je najkrajšie? - Harmónia. 
3. Čo je najmocnejšie? - Myšlienka. ... Číslu sa podobá všetko ²⁾.   
   

Pytagorejci si vytvorili niekoľko kategórií čísel.

• Párne čísla boli ženské.
• Nepárne mužské.
• Číslo 4 predstavovalo spravodlivosť: 2 + 2 = 2 x 2.
• Číslo 10 predstavovalo dokonalosť: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

1) Súcno je filozofické označenie. Súcno je to, čo je. Súcno má účasť na bytí, nie je to však bytie samo ako celok.