Historický pohľad na vývoj matematiky

 Sústava lineárnych rovníc.

Sústavu dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych vedeli mezopotámski počtári riešiť metódou chybného predpokladu. Táto metóda je pomerne presne popísaná na tablete s označením VAT 8389, pri riešení úlohy o úrode obilia z dvoch polí.

VAT 8389 - hlinená tabuľka je uložená v múzeu starovekého Blízkeho východu v Berlíne.

Úloha (Úroda z dvoch polí - Tablet 8389).
Máme dve polia.

1. Z plošnej jednotky bur prvého poľa zožneme 4 gur obilia,
2. z plošnej jednotky bur druhého poľa zožneme 3 gur obilia,
3. úroda z prvého poľa prevyšuje úrodu z druhého poľa o (8,20) = 500 silá,
4. súčet plôch polí je (30,0) = 1800 sar.

Aké sú výmery oboch polí?

Súčasná formulácia úlohy

1. Prvé pole dávalo 4 gury za každý bur (2/3 sila za každý sar),
2. druhé pole dávalo 3 gury za každý bur (1/2 sila za každý sar),
3. prvé pole dalo o 500 sila viac ako druhé pole,
4. súčet plôch polí je 1 bur (1800 sar.)

Aké sú výmery oboch polí?

Poznámky(Miery v Mezopotámii).

1. "Bur" a "sar" sú jednotky plochy poľa. 1 bur = 1800 sar. Sar má asi 36 metrov štvorcových.
2. "Gur" a "sila" sú jednotky objemu zrna. 1 gur = 300 sila. Sila má asi 1 liter.
3. Všimnime si, že jednotky plochy a objemu sú násobkami prirodzeného čísla 6, ktoré je východisko pre 60-kovú číselnú sústavu.

Riešenie (Metóda chybného predpokladu).
V práci [BEC, 2003] je uvedený preklad riešenia zapísaného na VAT 8389. Uvedieme riešenie v súčasnej terminológii. Nech $\small x, y$ predstavujú výmery uvažovaných polí v jednotkách sar, potom danú úlohu môžeme zapísať ako sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych.
(R1) $\frac{(20,0)}{ (30,0) }.x-\frac { (15,0) }{(30,0)}y= \small (8, 20)$
(R2) $\small \qquad \; \;x \quad + \quad \; \; y = (30,0)$ .
Babylončania sústavu riešili metódou chybného predpokladu.
Najprv sa vypočíta úroda na jednotlivých poliach za predpokladu, že obe polia majú rovnakú výmeru. V tejto úlohe počtár takmer pred 4000 rokmi použil hodnotu (15,0) sár. Pri takejto voľbe ľavá stran rovnice (R1) bude mať hodnotu:
(R1') $\small (15,0) \normalsize \left(\frac{(20,0)}{ (30,0) }-\frac { (15,0) }{(30,0)}\right)= \small (10,0)-(7,30)$
Rozdiel úrod na týchto dvoch poliach rovnakej výmery je teda:$\small (10,0)-(7,30) = (2,30)$.

Úrody sa však majú líšiť o (8,20), rozdiel úrod pri rovnakej výmere polí je teda o (5,50) menší. Počtár teraz vychádzal z jednoduchej úvahy: na každý sar, o ktorý sa zväčší prvé pole a zmenší druhé pole, sa získa o (0;40) viac úrody na prvom poli a o (0; 30) menej úrody na drahom poli. Rozdiel úrod preto narastie o
$\small (0;40) + (0;30) = (1;10)$.
Potom počtár vykonal príslušné delenie, tj. našiel, čím je potrebné vynásobiť číslo (1; 10), aby vyšlo číslo (5,50), tj. "chýbajúce" rozdiel úrod. Ľahko zistil, že výsledok je (5,0). Polia teda majú výmera (15,0) + (5,0) = (20,0) a (15,0) - (5,0) = (10,0), čo v našej desiatkovej sústave je 1200 a 600.

Zovšeobecnenie.
Ak máme riešiť rovnicu
$\small x + y = 2h$,
kde pre x a y je daná ešte nejaká ďalšia podmienka, potom sa položí
$\small x =h + w, y = h - w$,
kde w je nová neznáma.

Metóda **chybný predpoklad** (resp. **falošný predpoklad**).
Jedna z metód používaných v Mezopotámii na riešenie sústav dvoch lineárnych rovníc. Táto metóda bola známa už v starovekej Babylonii (okolo 1800 – 1600 p.n.l.) a využívala heuristický prístup k riešeniu matematických problémov.

Metóda **chybný predpoklad** funguje na základe výberu vhodného (hoci nesprávneho) predpokladu a následnej úpravy výsledku tak, aby bol správny. V kontexte riešenia dvoch lineárnych rovníc počtári v Mezopotámii postupoval nasledovne:

1. Vybrali si predpokladanú hodnotu jednej neznámej
2. Dosadili ju do rovníc a vypočítali výsledky.
3. Porovnali získaný výsledok so správnym a upravili ho pomocou polovičného rozdielu.
4. Opravený výsledok poskytol správne riešenie.

Využitie metódy v súčasnej školskej matematik.
Táto metóda môže byť v školskom prostredí užitočná na rôzne účely:

1. Vysvetlenie logického myslenia a heuristiky, pri ktorom žiaci sa naučia skúšať rôzne hodnoty a opravovať riešenie na základe pozorovania.
2. Výuka základných lineárnych rovníc iným spôsobom. Nie každý žiak chápe algebraické riešenie okamžite, preto môže táto metóda pomôcť vizualizovať proces.
3. Rozvoj odhadu a práce s pomermi. Učitelia môžu používať túto metódu na vysvetlenie práce s aproximáciou a pomermi v rôznych kontextoch.
4. Historický pohľad na matematiku. Ukážka babylonských metód môže urobiť hodiny matematiky zaujímavejšie a ukázať, že existujú aj iné prístupy k riešeniu problémov.

Postup:

1. Zvolíme si chybný (ľubovoľný) predpoklad pre jednu z neznámych (napr. predpokladáme, že $x = a$).
2. Vypočítame druhú premennú zo zadaných podmienok.
3. Zistíme, o koľko sa výsledok líši od požadovaného výsledku.
4. Podľa toho upravením pôvodného predpokladu (napr. pomerovou úvahou) hľadáme správne riešenie.

Príklad.(Pre žiakov gymnázií).
Dvaja spolupracovníci spolu zarobili 100 eur. Prvý zarobil o 20 eur viac ako druhý. Koľko zarobil každý?

Riešenie pomocou chybného predpokladu

1. Chybný predpoklad:
   Predpokladajme, že obaja zarobili rovnako – teda po 50 eur.

2. Skutočnosť:
   Ale jeden z nich má mať o 20 eur viac.
   Rozdiel v našom predpoklade je $50 - 50 = 0$, ale má byť 20.
   Teda musíme odobrať 10 eur jednému a pridať 10 eur druhému, aby vznikol rozdiel 20 eur.

3. Opravený údaj:
   Jeden zarobil $50 + 10 = 60$ eur, druhý $50 - 10 = 40$ eur.

Odpoveď: Prvý zarobil 60 eur, druhý 40 eur.