Geometria a digitálne nástroje (kópia)

Dôsledky a nové návrhy (Priemet priamky a kružnice)

1. Rysovanie v Poincarè Disku si zjednodušíme ak v GeoGebre vytvoríme nové nástroje, pomocou ktorých narysujeme základný hyperbolický útvar.
2. V predchádzajúcej kapitole sme dokázali, že h-priamka sa zobrazí do kružnicového oblúku, ktorý leží na kružnici kolmej k hranici Poincaré disku.
3. V prvom rade musíme navrhnúť konštrukciu, ktorá pomocou makra "zobrazí celý " kolmý oblúk (obraz h-priamky).
4. Zároveň musíme navrhnúť konštrukciu, ktorá "zobrazí segment" kolmého oblúka (obraz h-úsečky).
5. Následne sa zameriame na vytvorenie nástroja narysovanie kružnice, ktorá je daná
   • stredom a bodom kružnice,
   • stredom a polomerom, ktorý je daný úsečkou,
   • stredom a polomerom, ktorý je daný kladným reálnym číslom.

Príklad (Vytvorenie nástroja hPriamka).
Daný je disk/otvorený kruh $\small \omega (O, r \lt 1)$ a vnútorné body tohto disku $\small A, B$. Nech úsečka $\small AB$ nie je priemerom disku $\small \omega$ . Zostrojte hPriamku v Poincarého modeli určenú dvoma bodmi $\small A, B$ vo vnútri disku.

Riešenie
Z predchádzajúcich tvrdení vyplýva, že riešením je kružnicový oblúk hraničnej kružnice disku $\small \omega (O, r=1)$ v Euklidovskej rovine, ktorý prechádza bodmi $\small A, B$ a je kolmý na hranicu disku $\small \omega$.
Predpokladajme, že aspoň jeden z bodov $\small A, B$ je rôzny od stredu $\small O$. Postup konštrukčných krokov je uvedený na obrázku "Konštrukcia hPriamky v GeoGebre" vľavo.
Konštrukčné kroky kružnicového oblúka, ktoré zohľadňuje aj prípady

1. úsečka $\small AB$ je priemerom kružnice $\small \omega (O, r=1)$ - v konštrukcii tento prípad má názov "Diameter"
2. obidva body $\small A, B$ ležia na kružnici $\small \omega (O, r=1)$ ale nie sú priemerom - v konštrukcii tento prípad má názov "Nevlastne",
nájdete po aktivovaní navigačného panela (kroky 7,8 a 9).

Konštrukciu je nutné uložiť na vami dostupné médium s vhodným názvom, napr. "hPriamka". Táto konštrukcia bude východiskom pre vytvorenie nového nástroja v GeoGebre.

Postup na vytvorenie nástroja "hPriamka" v GeoGebre.

1. Otvorte si súbor uložený s názvom "hPriamka".
2. V základnom Menu programu GeoGebra vyberte možnosť "Vytvoriť nový nástroj".
3. Postupujte podľa pokynov pre vytvorenie nástroja, ktorý pomenujete napr. hPriamka (podrobnejší výklad nájdete v práci [KOB, 2024]
4. Ak dodržíte všetky pokyny, tak by sa vám na lište nástrojov mala objaviť nová ikona pre nástroj hPriamka.

Používanie nástroja hPriamka.
Postupne aktivujte:

• pôvodný v GeoGebre "Bod" a vytvorte dva rôzne body vo vnútri Poincaré disku$\small \omega$,
• nástroj hPriamka a program zobrazí celý oblúk, ktorý je priemetom h-priamky (hyperboly).

Prácu s funkčným Poincaré diskom, ktorý je znázornený na obrázku "Nástroje v Poincaré disku", si môžete vyskúšať Tu. Súbor - applet vám odporúčame si stiahnuť.

Poznámky.

• Pri vytváraní ďalších nástrojov sme postupovali analogicky ako pri hPriamke.
• Pre nástroje rôznych kružníc sme využli konštrukcie uvedené v tvrdení "Priemet kružnice".
• Podklady pre nástroj "VzdialenostBodov" sme čerpali z prác [GRE, 1994], [HYP], [KOB, 2024] .

Základné "hyperbolické" konštrukcie v Poincaré Disku $\omega = \lbrace{x^2+y^2 \lt 0; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace$ chápeme ako transformáciu euklidovských konštrukcií. V podstate ide takmer rovnaké konštrukčné kroky aké používal Euklides. Pri ich úloh používame applet "Nástroje v Poincaré disku" vytvorený v prostredí GeoGebra. Pomocou sme riešili rôzne úlohy, ktorých konštrukcia je uvedené v Základoch. 

Didaktický komentár:
Práca s vlastnými nástrojmi v GeoGebre posúva študentov z úlohy „vykonaj konštrukciu“ do úrovne „navrhni si vlastný nástroj na riešenie úloh“. Tento krok je zásadný v učiteľskej príprave: učia sa myslieť ako tvorcovia, nie len ako používatelia softvéru. V kontexte hyperbolickej geometrie zároveň získavajú skúsenosť s tým, že všetko závisí od definície – aj „priama“ priamka môže byť oblúk, ak sa zmení metrika priestoru.