Geometria a digitálne nástroje (kópia)

V historickom vývoji geometrie nájdeme dva východiskové míľniky, ktoré by sme mohli charakterizovať tromi otázkami:
„Ako to vytvoriť? “
„Prečo to platí?“
„Platí piaty Euklidov postulát?“
Pozrite si práce [GRE], [VAL].

1. Začiatok tejto cesty „Ako “ môžeme spoľahlivo situovať do obdobia takmer 3 tisícročí pred naším letopočtom, je predovšetkým obdobie rozvinutého Babylonu a starovekého Egypta.
2. Pokrokové štádium „Prečo“ vzniklo v antickom Grécku a pokračovalo do objavenia neeuklidovských geometrií. V práci [KOB, 2024] je uvedená pekná myšlienka: "S úctou k velikánom gréckej matematiky a filozofie treba zdôrazniť, že mnohé grécke myšlienky predbehli svoju dobu o dve nasledujúce tisícročia."

Zatiaľ čo prvé dve otázky formulované v úvode kapitoly majú svoje korene v praktických potrebách starovekých civilizácií a systematických snahách gréckeho myslenia, tá tretia sa stala impulzom pre vznik alternatívnych geometrií — tzv. neeuklidovských.

🧠 Revolúcia v geometrii
Piaty Euklidov postulát spôsobil viac ako 2000-ročnú diskusiu. Od Ptolemaia, cez Ibn al-Haythama, až po Saccheriho a Lobačevského sa matematici pokúšali dokázať ho z ostatných axióm – neúspešne. V 19. storočí vznikla hyperbolická geometria, nezávisle objavená Lobačevským a Bolyaiom. Riemann pridal eliptickú geometriu, čím vznikol pluralizmus geometrických svetov, ktorý predbehol aj Einsteina v chápaní priestoru a zakrivenia.

Objav týchto geometrií v 19. storočí neznamenal len rozšírenie matematického aparátu, ale zásadnú zmenu paradigmy – podobne revolučnú ako Darwinova teória v biológii. Objav neeuklidovských geometrií patrí k významným míľnikom vo historickom vývoji matematiky. Výstižne to vyjadrujú slová M. Greenberga (pozrite si prácu [GRE]) : Moderné digitálne technológie, ako GeoGebra a výučbové systémy typu LMS Moodle, umožňujú dnes študentom nielen pochopiť základné koncepty hyperbolickej a sférovej geometrie, ale aj experimentálne overovať ich dôsledky v reálnom čase. Didaktická hodnota týchto systémov spočíva najmä v tom, že matematické objekty prestávajú byť abstraktné – dostávajú tvar, pohyb a zmysel.
Používanie nových technológií a umelej inteligencie je dnes už samozrejmou súčasťou moderného vyučovania. Ich výrazné využívanie podnietilo revolučnú zmenu v myslení všetkých aktérov vzdelávania.

Hyperbolická geometria – geometria viacerých rovnobežiek

Definícia.
Geometria, v ktorej neplatí piaty Euklidov postulát, no zachováva axiómy incidencie, zhodnosti a usporiadania.

Neeuklidovské geometrie rozdeľujeme do dvoch kategórií:

1. Hyperbolická geometria, v ktorej daným bodom neležiacim na danej priamke prechádzajú aspoň dve rovnobežky. Do tejto kategórie zaraďujeme napríklad Poincaré disk.
2. Parabolická geometria, v ktorej neexistuje žiadna rovnobežka idúca daným bodom neležiacim na danej priamke. Do tejto kategórie môžeme zaradiť aj sférickú geometriu.

V hyperbolickej geometrii prechádzajú daným bodom mimo priamky viac než jedna rovnobežka. Tento princíp sa najčastejšie modeluje v Poincarého disku, kde „priamky“ nie sú euklidovské úsečky, ale časti kružníc ortogonálnych na okraj disku. Pri konštrukciách v hyperbolickej geometrii s výhodou využívame rozšírenú/upravenú verziu softvéru GeoGebra, ktorý sme nazvali Poincaré disk. Tento softvér ponúka viacero nástrojov:

• hPriamka – generuje hyperbolické priamky ako oblúky kružníc
• hKružnica – verzie: kružnica určená stredom a bodom, kružnica určená stredom a polomerom
• Poincaré disk – vizualizuje hyperbolické geometrické úlohy s možnosťou animácií.

Hyperbolické konštrukcie v Poincaré disku podporujú deduktívne myslenie mimo euklidovskej intuície.

V našej práci sa budeme zaoberať hlavne hyperbolickou rovinnou geometriou ale okrajovo sa budeme venovať aj sférickej geometrii.
Za východisko pre hyperbolickú rovinu si vezmeme dvojdielny hyperboloid $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$. Uskutočníme dve operácie:

1. Ľubovoľné dva body hyperboloidu, ktoré sú súmerné podľa stredu hyperboloidu "stotožníme". Táto operácia nám umožní pracovať len s jednou časťou hyperboloidu, teda pod bodom hyperboloidu budeme chápať len bod na jednej časti hyperboloidu. Pomenujeme ho hBod.
2. Stredová rovina určená dvomi bodmi hyperboloidu a jeho stredom vytvorí rez na tomto hyperboloide, ktorým je vo všeobecnosti hyperbola. Zavedieme špeciálnu operáciu "prienik", ktorá reálne priradí dvom rôznym hBodom $\small A,B$ jednu vetvu hyperboly. Pozri obrázok hPriamka. Pod priamkou hyperbolickej rovinnej geometrie budeme teda chápať túto pol-hyperbolu, budem ju označovať hPriamka.

Poznámky.

1. Stredová rovina je rovina prechádzajúca stredom $\small O$ hyperboloidu. Rezom je hPriamka.
2. Keďže rezy stredových rovín s hyperboloidom môžu byť trojakého typu, existujú tri typy hyperbolickej hPriamky:
   • ak stredová rovina pretína hyperboloid v hyperbole, tak jednu vetvu rezu nazveme vlastná hPriamka 1. druhu,
   • ak rovina asymptoticky prilieha k hyperboloidu, vzniká tzv. nevlastná hPriamka 1. druhu (dotyk v nekonečne), 
   • ak stredová rovina nepretína hyperboloid, tak rezom je imaginárna kužeľosečka (elipsa), ktorú nazveme nevlastná hPriamka 2. druhu.

Didaktický komentár

Zaradenie hyperbolickej geometrie do výučby geometrie umožňuje žiakom spoznať, že geometria nie je jediná možná – že závisí od prijatých axióm. Študenti sa v Poincarého modeli stretávajú s tým, že:

• rovnobežky môžu byť viaceré,
• trojuholníky majú súčet uhlov menší ako 180°,
• „rovné“ úsečky nie sú rovné v euklidovskom zmysle (oblúky kružníc).

GeoGebra poskytuje vynikajúci priestor na experimentovanie a overovanie hypotéz: napr. či je možné zostrojiť rovnobežky, ako sa mení „obvod“ kruhu, alebo ako vyzerá rovnostranný trojuholník.
Tieto aktivity rozvíjajú geometrickú predstavivosť, argumentáciu a logické myslenie, ktoré sú jadrom matematickej gramotnosti budúcich učiteľov.

Sférická geometria – geometria konečných svetov

Sférická geometria sa odohráva na povrchu gule. Základné objekty sú:

• Body: body na sfére.
• Priamky: hlavné kružnice (rez gule rovinou prechádzajúcou jej stredom).

V tomto modeli platí:

• Každé dve priamky sa pretínajú v dvoch bodoch.
• Neexistujú rovnobežky.
• Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je väčší ako 180°.
• Existujú dvoj-uholníky: útvary ohraničené dvoma priamkami s dvoma vrcholmi (napr. poludníky).

Hilbertove axiómy:

• Zhodnosť, usporiadanie – sú aplikovateľné s modifikáciami.
• Rovnobežnosť – neplatí.
• Spojitosť – zachováva sa topologická štruktúra.

Pri premietnutí sféry stredovým priemetom z pólu do roviny dotyku vzniká stereografická projekcia, v ktorej sa hlavné kružnice zobrazujú ako:

• Kružnice (neprechádzajúce pólom).
• Priamky (prechádzajúce pólom projekcie).

 
Obr. Sféra - projekcia (otvorte si interaktívny applet Tu).

Sférická geometria vo výučbe a výskume

Niektoré z publikácií a dostupných materiálov na tému výučby sférickej geometrie:

• Greenberg, M. Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History (W.H. Freeman, 1993).
  → Prehľad histórie aj didaktickej aplikácie neeuklidovských geometrií
• M. Christersson: GeoGebra Constructions in the Disc.
• Hitchman, M. Geometry with an Introduction to Cosmic Topology (Oregon 2018)
  → Inovatívny prístup ku sférickej a hyperbolickej geometrii so zameraním na aplikácie vo fyzike a kozmológii.

Didaktický komentár

Zaradenie sférickej geometrie do prípravy budúcich učiteľov otvára dvere k porovnávaniu modelov, experimentovaniu s axiómami a lepšiemu porozumeniu samotnej podstaty geometrie. Práve konflikt medzi intuitívnym očakávaním (napr. o rovnobežkách či súčte uhlov) a matematickou realitou iného modelu vytvára v edukačnom procese najväčšiu pridanú hodnotu. Je vhodné študentom zdôrazniť zásadné rozdiely medzi rôznymi modelmi geometrií, nparíklad formou tabuľky:

Model	Rovnobežky	Súčet uhlov	Priamky	Poznámka
Euklidovský	1	180°	priame línie	klasická rovina
Hyperbolický	∞	< 180°	oblúky kružníc	Poincaré disk
Sférický	0	> 180°	hlavné kružnice	žiadne rovnobežky, dvoj-uholníky