Geometria a digitálne nástroje

Pytagorova veta je možno najznámejšou vetou v celej matematike. Je jednoduchá, krásna a univerzálna.
No málokto vie, že jej pôvod je omnoho hlbší – siaha do Egypta, Číny, Indie a vrcholí v Euklidových Základoch ako monument dôkazového myslenia.
V tejto kapitole ukážeme nielen klasickú formu Pytagorovej vety, ale aj jej obrátenú formu, Euklidove dodatky a viaceré dôkazy, ktoré si môžete vizuálne overiť v GeoGebre.

Veta (Pytagorova veta).
V každom pravouhlom trojuholníku $\small ABC$, v ktorom prepona má veľkosť $c$ a odvesny majú veľkosti $a,b$ platí $\color\green{c^2}=\color\navy{a^2}+\color\red {b^2}$.

Slovná formulácia Pytagorovej vety:
Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.
Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pytagora, ktorý ju odvodil v 6. storočí pred Kr.

1. Dôkazov Pytagorovej vety existuje veľmi veľa, viac ako 300, pozri na GeoGebre Tu.
2. Vyhľadajte pôvodný Euklidov dôkaz v Knihe I, tvrdenie T/XLVII.
3. Pozrite si dôkaz Pytagorovej vety v programe GeoGebra, ktorý vychádza z Euklidovho dôkazu. Otvorte si applet Tu. 
4. Iné dôkazy Pytagorovej vety nájdeme na stránke M. Viklera alebo Wikipedia.

Poznámky.

1. Pytagorova veta pravdepodobne bola známa aj v iných starovekých civilizáciách, napríklad v Číne, Egypte.
2. Starí Egypťania stavali pozoruhodné stavby, pri ktorých potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Robili to takto:
   • na špagáte uviazali rovnomerne 12 uzlov,
   • prvý a posledný uzol upevnili na tom istom mieste - $\small A$ a štvrtý na mieste $\small C$ a siedmy na $\small B$,
   • vznikol pravý uhol $\small ABC$.

Tento kontext vytvára prepojenie medzi školskou matematikou a jej kultúrno-technickým pôvodom.

Veta (Obrátená Pytagorova veta). 
Ak v trojuholníku $\small ABC$ platí pre dĺžky strán $c^2=a^2+b^2$, tak tento trojuholník je pravouhlý s preponou $c$.

Pytagorova veta uvedená v Euklidových Základoch: Kniha 1, tvrdenie XLVII.

Veta (Pytagorova veta - znenie uvedené v Základoch).
V pravouhlých trojuholníkoch štvorec na strane oproti pravému uhlu ležiaci je rovný súčtu štvorcov na stranách, ktoré zvierajú pravý uhol.

Dôkaz (Grafická verzia).

Interaktívny applet je dostupný Tu.

Veta (Euklidova veta o výške).
Obsah štvorca zostrojeného nad výškou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z oboch úsekov prepony.

Dôkaz.
Je dôsledkom Pytagorovej vety a využitím podobnosti trojuholníkov. Interpretáciu tejto vety, vhodnú pre žiakov ZŠ, prezentuje applet "Euklidova veta o výške"


Dôkaz Euklidovej vety o výške, ktorý využíva zhodnosť nájdete Tu. Jeho autorom je Martin Vinkler. Ďalšiu vetu uvádzame bez dôkazov. V prípade záujmu, čitateľovi odporúčame už spomínanú prácu Kobza, V.: Interaktívna geometria.

Veta (Euklidova veta o odvesne).
Obsah štvorca zostrojeného nad odvesnou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z prepony a priľahlého úseku.