Geometria a digitálne nástroje

Trojuholník nie je len útvar s tromi vrcholmi – je to dynamická rovnováha medzi vzdialenosťou, smerom a symetriou.
V tejto kapitole sa zameriame na dve výnimočné vlastnosti trojuholníka: ťažisko a ortocentrum. Ich existencia, poloha a konštrukcia nás vedú k objavovaniu hlbokých súvislostí medzi stredmi strán, výškami, priesečníkmi a rovnoľahlosťou.
V spojení s GeoGebrou môžu študenti experimentálne hľadať vzory, formovať hypotézy a sami sa presvedčiť o platnosti tvrdení, ktoré raz fascinovali aj Alberta Einsteina.

Definícia (Ťažnica trojuholníka).
Nech je daný trojuholník $\small ABC$ a nech $\small A_1$ je stred strany $\small BC$. Úsečka $\small AA_1$ sa nazýva ťažnica trojuholníka $\small ABC$.

O ťažniciach trojuholníka sú známe nasledujúce dve tvrdenia:

1. Ťažnice sa pretínajú v jednom bode $\small T$. Tento bod sa nazýva ťažisko trojuholníka.
2. Každá ťažnica je ťažiskom rozdelená na dve časti v pomere $2 : 1$.

Poznámky.

1. Tieto tvrdenia sa na ZŠ nedokazujú, ale pomocou dynamického experimentu v prostredí GeoGebra sa žiaci presvedčia o ich platnosti. Žiakom na úrovni gymnázií sa dôkaz prezentuje najčastejšie pomocou rovnoľahlosti $\small H=(T, \kappa= -1/2)$.
2. Budúci učitelia matematiky sa zoznamujú s viacerými konštruktívnymi dôkazmi, napr. aplikáciou Cevovej vety, pomocou osovej afinity transformujú trojuholník na rovnostranný.

Pre účely tejto publikácie sme zvolili dynamickú interpretáciu, ktorá bola publikovaná v práci Lukáč, S.: Bádateľský prístup k výučbe trojuholníkov.

Experiment.
Trojuholník $\small ABC$ rozdelíme na úzke pásiky, ktoré budú rovnobežné so stranou $\small AB$. To je možné ľahko vytvoriť pomocou softvéru GeoGebra.Z fyziky žiaci vedia, že ťažisko každého "pásika" leží v jeho "strede".Pri posúvaní "pásika" $\small PQ$ pomocou interaktívneho bodu $\small L$ sa bude zaznamenávať stopa jej stredu $\small T_p$. Applet si otvoríte Tu.

1. Stopa bodu $\small T_p$ je zrejme úsečka $\small C_1C$, pričom $\small C_1$ je stred strany $\small AB$ a teda $\small C_1C$ je ťažnica.
2. Na upevnenie pojmov ťažnica a ťažisko učiteľ formuluje otázky typu:
• Ťažnica obsahuje len vnútorné body trojuholníka?
• Na aké trojuholníky rozdeľuje ťažnica trojuholník ?

Na záver experimentu učiteľ vysloví tvrdenie o ťažniciach a ťažisku. Pripomíname, že takýto prístup podporuje fyzikálno-geometrickú intuíciu a je obzvlášť účinný u žiakov, ktorí majú slabšie formálne deduktívne myslenie. Je skvelým mostom medzi dynamikou a dôkazom.

Veta.
Ťažnice trojuholníka sa pretínajú v jedinom bode T, ktoré nazývame ťažisko.

Konštrukčný dôkaz (Doplňanie do rovnobežníka).

1. Zostrojíme rovnobežky s dvoma ťažnicami v bodoch $\small B,C$. Existenciu zaručuje V. Euklidov postulát.
2. V rovnobežníku uhlopriečky $\small BC, TD$ sa navzájom rozpoľujú.
3. V trojuholníku $\small ABD$ je $\small C_1T$ stredná priečka trojuholníka, odkiaľ dostávame $\small T$ je stred $\small AD$. Analogicky $\small B_1T$ je stredná priečka.
4. Teraz stačí dokázať, že priesečník $\small E=BC, TD$ je stred strany.

Definícia (Výška trojuholníka).
Kolmica zostrojená z vrcholu trojuholníka na priamku, na ktorej leží protiľahlá strana trojuholníka, sa nazýva výška trojuholníka.

1. Výšky sa pretínajú v jednom bode $\small V$.
2. Tento bod sa nazýva priesečník výšok alebo ortocentrum.
3. Výška môže ležať vo vnútri, na strane alebo mimo trojuholníka v závislosti od jeho typu (ostrý, pravý, tupý).
   

Albert Einstein (Obrázok je prevzatý z Wikipédie)

"Keď som mal dvanásť rokov, zažil som zázrak iného druhu vďaka knižočke o Euklidovej geometrii roviny, ktorá sa mi dostala na začiatku školského roku do rúk.

1. Boli to poučky, ako napríklad, že tri výšky v trojuholníku sa pretínajú v jednom bode.
2. Hoci to nie je v nijakom prípade evidentné, predsa sa to dalo dokázať s takou istotou, že pochybnosť sa zdala byť vylúčená.
3. Táto jasnosť a istota spravili na mňa neopísateľný dojem."

Veta (Ortocentrum trojuholníka).
Výšky v trojuholníku sa pretínajú v jednom bode.

Dôkaz, ktorý nadchol Einsteina.