Geometria a digitálne nástroje

Mocnosť bodu ku kružnici je jedným z tých pojmov, ktoré si žiak spočiatku nevie celkom predstaviť – no práve v tom tkvie jej vzdelávací potenciál. Ide o syntézu geometrie a algebry, o prechod od pozorovania k vzorcu.

📐 Historické poznámky
Mocnosť bodu ku kružnici sa explicitne objavuje až v analytickej geometrii 17. storočia. Pojem sa však objavuje už skôr pri štúdiu radikálnej osi – množiny bodov s rovnakou mocnosťou ku dvom kružniciam. Descartes a Viète formulovali tieto vzťahy pomocou súradnicovej geometrie, no v syntetickej podobe ich nájdeme v 19. storočí u Jacoba Steinera. Mocnosť bodu sa dnes chápe ako invariančný geometrický koncept.

Pomocou vizualizácií v GeoGebre možno pozorovať, že súčin dĺžok sečnicových úsečiek je konštantný – a že táto konštanta je vlastnosťou bodu, nie konkrétnej sečnice. Tento objav možno vnímať ako predchodcu pojmov funkcie a invariančnosti. Je daná kružnica $\small k(S,r)$ so stredom $\small S$ a polomerom $r$. Bod $\small M$ leží zvonka kružnice. Nech $p$ je sečnica kružnice $k$ vedená bodom $\small M$ a $\small A,B$ sú priesečníky sečnice s kružnicou $k$ .

Skúmajme súčin $\small m = |MA| \cdot |MB|$. Po otvorení motivačného appletu "MOBOKEKR" od Martina Vinklera a experimentovaním s polohou bodu $\small M$, môžeme vysloviť hypotézu:

Otvorte si motivačný applet Tu.

Otázky.
Je súčin $\small m = |MA| \cdot |MB|$ nezávislý od polohy sečnice $\small p= \overleftrightarrow{AB}$? Inými slovami je konštantný pre ľubovoľnú polohu bodov $\small A,B$?
Môžeme definovať súčin aj pre prípad, ak bod $\small M$ leží vo vnútri kružnice $\small k(S,r)$? Odpovede nájdeme vo forme dôkazov viet o mocnosti.

Definícia (Mocnosť bodu ku kružnici).
Ľubovoľnému bodu $\small M$ roviny možno priradiť reálne číslo $m$ , pre ktorého absolútnu hodnotu platí $\small |m| = |MA| × |MB|$, pričom

1. $m > 0$ pre bod $\small M$ ležiaci mimo kružnice (vonkajší bod kružnice),
2. $m = 0$ pre bod $\small M$ ležiaci na kružnici (bod kružnice),
3. $m < 0$ pre bod $\small M$ ležiaci vnútri kružnice (vnútorný bod kružnice).

           Číslo $m$ sa nazýva mocnosť bodu $\small M$ ku kružnici $k$

Veta (Mocnosť bodu - konštanta).
Mocnosť bodu $\small M$ ku kružnici $\small k(S,r)$ nezávisí od polohy sečnice kružnice, ktorá prechádza bodom $\small M$ .

Dôkaz.

1. Uvažujme o trojuholníkoch $\small \triangle MCA, \triangle MBD$.
2. Obvodové uhly k oblúku $\small AC$ pri vrcholoch $\small B,D$ sú zhodné.
3. Uhol $\xi$ pri vrchole $\small M$ je spoločný pre obidva trojuholníky.
4. Trojuholníky $\small \triangle MCA, \triangle MBD$ sú podobné.
5. Pre pomery odpovedajúcich strán platí $\small \frac{|MB|}{|MD|}=\frac{ |MC|}{|MA|}$.
6. Odtiaľ dostávame $\small |MA| × |MB| = |MC| × |MD|=$konštanta.
7. Tým je dôkaz ukončený.

Dokázať tento dôsledok je veľmi jednoduché. Stačí zvoliť sečnicu $\small CD$ tak, aby prechádzala stredom kružnice. V takom prípade bude

• $\small \left| MD\right|=\left| MS\right|+\left| SD\right|=v+r$  a
• $\small \left| MC\right|=\left| MS\right|-\left| SC\right|=v-r$.

Po vynásobení $(v+r)(v-r)=v^2-r^2$.

Poznámka.
V prípade, keď bod $\small M$ leží vo vnútri kružnice tvrdenie vety 1 a tvrdenie dôsledku ostáva v platnosti. Trojuholníky $\small \triangle MCA, \triangle MBD$ sú podobné. Naviac v súlade s definíciou mocnosti bodu ku kružnici, bude v prípade bodu ležiaceho vo vnútri kružnice, číslo $\small m = v^2 -r^2$ záporné. Pozrite si ilustračný obrázok.

Veta (Mocnosť bodu - hodnota).
Pre mocnosť bodu $\small M$, ktorý leží zvonka kružnice $\small k(S,r)$, platí rovnosť $\small m = |MT|^2=v^2 -r^2$. Bod $\small T$ je dotykový bod dotyčnice, ktorá prechádza bodom $\small M$.

Dôkaz vety 2 ilustrujeme ako limitný prechod vo vete 1.

1. Vzťah $\small |m| = |MA| × |MB|$ platí pre ľubovoľnú sečnicu.
2. Pohybujme sečnicou tak, aby sa postupne blížila k dotyčnici v bode $\small T$.
3. Bod $\small A$ i bod $\small B$ sa blížia k bodu $\small T$.
4. Veľkosť úsečky $\small MA$ sa blíži k veľkosti úsečky $\small MT$.
5. Z toho usudzujeme, že súčin $\small MA × MB$ sa blíži k súčinu $\small MT × MT = {MT}^2$.

Pomocou obrázka urobte korektný matematický dôkaz. Využite podobnosť trojuholníkov $\small \triangle MAT, \triangle MTB$, ktoré majú zhodné uhly. Pre pomery odpovedajúcich strán platí $\small \frac{MA|}{|MT|}=\frac{ |MT|}{|MB|}$.
Pri odvodení vzťahu $\small m = |MT|^2=v^2 -r^2$ môžeme využiť skutočnosť, že trojuholník $\small MST$ je pravouhlý a použiť Pytagorovu vetu.

Definícia (Chordála a chordický bod).
Majme dve nesústredné kružnice $\small  k_i(S_i,r_i), i=1,2$. Množina všetkých bodov, ktoré majú rovnakú mocnosť k obom kružniciam je priamka kolmá k spojnici stredov týchto kružníc. Nazývame ju chordála.

Korektnosť definície a konštrukcia chordály.

1. Dané kružnice $\small  k_i(S_i,r_i), i=1,2$ sa pretínajú v dvoch bodoch/priesečníkoch. Priamka určená priesečníkmi daných kružníc je spoločná sečnica oboch kružníc. Preto ľubovoľný bod priamky určenej týmito priesečníkmi má rovnakú mocnosť k obom kružniciam. Priamka určená priesečníkmi daných kružníc je chordála daných kružníc.
2. Kružnice sa dotýkajú v bode, ktorý má mocnosť $m = 0$ k obom kružniciam. Chordála je spoločná dotyčnica v bode. Dôkaz, že spoločná dotyčnica je množina bodov s rovnakou mocnosťou k obom kružniciam, vyplýva z vety 2.
3. V prípade, že kružnice nemajú spoločný bod zvoľme pomocnú kružnicu $\small  k_3(S_3,r_3)$, ktorá pretína obe kružnice $\small  k_i(S_i,r_i), i=1,2$. Zostrojme chordály $\small  chord(k_i,k_3)=\overleftrightarrow{A_iB_i}, \; i=1,2$. Ich priesečník označme $\small P$. Tento bod má rovnakú mocnosť ku všetkým trom kružniciam. Nazývame ho chordický bod. Týmto bodom potom vedieme kolmicu k úsečke, čo je chordála kružníc $\small  k_i(S_i,r_i), i=1,2$. Aktivujte si priložený applet.