Geometria a digitálne nástroje

Modely geometrie – most medzi axiómou a skúsenosťou
V axiomatickom systéme geometrie zohrávajú modely kľúčovú úlohu. Predstavujú konkrétnu interpretáciu primitívnych pojmov, kde sú overované platnosti jednotlivých axióm. Vďaka modelom dokážeme odpovedať na otázky typu: „Sú naše axiómy konzistentné?“ alebo „Existuje aj iný svet, kde piaty Euklidov postulát neplatí?“

O niektorých modeloch sme písali už v kapitole Hilbertov axiomatický systém. Napríklad sme charakterizovali model, ktorý sa používa na stredných školách pri riešení úloh pomocou metód analytickej geometrie. Tento model budeme nazývať Euklidovský model – "známa krajina". V ňom platí:

• Body: usporiadané dvojice reálnych čísel.
• Priamky: množiny riešení lineárnych rovníc.
• Euklidovská rovina – dvojrozmerný priestor nad ℝ², s obvyklou metrikou vzdialenosti a meraním uhlov založenou na známej Pytagorovej vete a na trigonometrickej geometrii.

Ide o model, ktorý poznáme z bežného školského vyučovania. Vyjadruje vzájomné prepojenie medzi euklidovskou rovinou a algebrou, pričom využíva známy karteziánsky systém súradníc. Je intuitívny, avšak nepokrýva celú škálu možností, ktoré axiomatika pripúšťa. V tejto časti práce väčšiu pozornosť venujeme hyperbolickej geometrii, v ktorej môžeme zostrojiť viaceré rovnobežky. Preskúmame konštrukčné možnosti, ktoré poskytuje model Poincarého disku. Ako sme už v predchádzajúcej kapitole uviedli (bez dôkazu), v tomto modeli sú:

• Body: vnútorné body otvoreného kruhu.
• Priamky: oblúky kružníc kolmých na hranicu kruhu.
• Rovnobežnosť: z bodu mimo priamky vedie nekonečne veľa rovnobežiek.

Tieto vlastnosti v ďalšej časti aj dokážeme.

Poincarè model- pozrite obrázok "Priemet hyperboloidu.

• model je definovaný ako otvorený disk, ktorý vznikne stredovým priemetom jednej vetvy (hornej časti) hyperboloidu $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$,
• za stred premietania je zvolený bod $\small V'=(0,0,-1)$ (vrchol spodnej časti hyperboloidu),
• premietame do stredovej roviny, ktorá je kolmá na os hyperboloidu prechádzajúca stredom $\small O=(0,0,0)$.

1. Pomocou metód deskriptívnej geometrie sa dá dokázať, že priemetom tohto hyperboloidu je zrejme otvorený disk  $\omega=(\small O,\; r < 1)$.
2. Otvorený disk so stredom $\small O$ nazývame Poincaré Disk.

GeoGebra rozšírenia umožňujú riešiť známe euklidovské úlohy v netradičnom hyperbolickom prostredí – napr. konštrukciu rovnostranného trojuholníka pomocou hPriamky a hKružnice. Obrázok "Prenášanie úsečky" interpretuje Euklidovo tvrdenie Kniha I., Tvrdenie 2. Model Poincaré disk zachováva uhlové vlastnosti (konformný) a je vhodný na interaktívnu výučbu. 

Beltramiho-Kleinov model

Model vznikne ako stredový priemet dvojdielneho hyperboloidu do roviny kolmej na os hyperboloidu, pričom

• stred premietania je stred hyperboloidu - bod $\small O=(0,0,0)$
• rovina, do ktorej premietame je dotyková rovina hyperboloidu v jeho vrchole $\small V=(0,0,1)$
• priemetom hyperboloidu $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ je otvorený kruh $\small k=(V,r=1)$, ak $a=b=c=1$
• kruh s vrcholom $\small V$ a polomerom $r=1$ sa nazýva Klein Disc.

Zhrnutie

1. Bodmi Beltrami Kleinovho modelu sú body Klein Disku.
2. Priamkami sú tetivy tohto disku.

1. V obidvoch modeloch (Beltrami aj Poincaré) existuje viac ako jedna rovnobežka.
2. Kleinov a Poincaré model vznikajú premietaním do roviny. Ide teda o 2 - rozmerné priestory.
3. Výhodou modelu Klein je, že priamky v tomto modeli sú euklidovské (rovné) tetivy. Nevýhodou je, že model nie je konformný.

Zaradenie modelov geometrie (Poincaré, Klein, sférický) má v príprave budúcich učiteľov vysokú didaktickú hodnotu. Umožňuje študentom:

• zažiť, že nie všetko v geometrii je „dané“ – že aj postuláty môžu byť voľbou;
• pracovať v rôznych systémoch pravidiel a porovnávať ich dôsledky;
• rozvíjať schopnosť metakognície – chápať, ako a prečo vlastne geometria „funguje“.

Model Klein je vhodný na ilustráciu „rovných“ priamok (tetív), no deformuje uhly. Naopak, Poincarého disk je konformný – uchováva uholové vlastnosti – a preto sa viac hodí na analýzu vlastností trojuholníkov, ortogonality a podobnosti.

Na záver uvádzame stručnú sumarizačnú tabuľku modelov ako most k ďalším úlohám: