Geometria a digitálne nástroje

Otvorte si applet Tu.

1. Nech $\small \left|AC\right| > \left| AB \right|$, odrežme $\small AD \simeq AB$ a veďme $\small BD$... T/III, Post.1
2. A keďže vonkajším uhlom trojuholníka $\small BCD$ je $\small ∢ADB$, je väčší protiľahlému vnútornému uhlu $\small ∢DCB$... T/XVI
3. Avšak $\small ∢ADB=∢ABD$, ako aj strana $\small AB=AD$. $\small ABD$ rovnoramenný
4. Teda tiež $\small ∢ABD >∢ACB$... T/V
5. Mnohom väčší teda je $\small ∢ABC$ ako $\small ∢ACB$.

1. Ideálne pravítko – slúži len na spojenie dvoch bodov.
2. Ideálne kružidlo – umožňuje nakresliť kružnicu so zadaným stredom a polomerom.
3. Konečný počet krokov – každá konštrukcia musí byť vykonateľná v konečnom čase.

• Zostrojenie rovnostranného trojuholníka.
• Zostrojenie osi úsečky – pomocou kružidla so zhodným polomerom z oboch koncov úsečky.
  
  Otvorte si konštrukciu Tu
• Zostrojenie kolmice v bode na priamke – znázornenie priamky ako množiny bodov s rovnakou vzdialenosťou od dvoch daných bodov.

1. Podmienka konečného počtu krokov v definícii euklidovskej konštrukcii je opodstatnená. Napríklad konštrukcia uvedená v príklade v kapitole 2 nemôže byť euklidovská, lebo pri konečnom počte aproximácií nezískame trisekciu uhla. Na druhej strane vieme stanoviť počet krokov, ktoré budú veľkosť trisekcie uhla určovať s vopred danou presnosťou .
2. V geometrii, v ktorej neplatí piaty Euklidov postulát (neeuklidovské geometrie) to také jednoduché nebude. V prvom rade musíme nájsť odpoveď na otázku: "Čo budeme rozumieť pod pravítkom resp. kružidlom v takejto geometrii?".
3. V časti Neeuklidovská geometria popíšeme niektoré elementárne euklidovské konštrukcie v neeuklidovskej geometrii, ktoré budú tvoriť samostatnú triedu Euklidovských konštrukcií.

1. Náčrtok - súčasťou rozboru môže byť aj náčrt (na úrovni ZŠ je to dôležitá súčasť rozboru).
• nakreslíme netypický trojuholník, náčrt kreslíme/modelujeme pomocou úsečiek, kružnicových oblúkov, ... .
• "silnejšie" resp. farebne vyznačíme strany $\small c=AB, a=BC$ a uhol $\small BAC$
2. Logický rozbor
• strana $\small AB$ je daná
• vrchol $\small C$ leží na ramene uhla $α$
• zároveň leží na kružnici $\small k(B, r=a)$

Applet si otvoríte Tu.

1. Algebraická metóda rozboru

Obrázok aktivujete Tu.

• • Vypočítajme veľkosť úsečky $\small AC$.
  • Nech $\small d = BB_0$ je vzdialenosť bodu $\small B$ od priamky $\small AL$.
  • Potom $d = c$. sin $α$.
  • Trojuholníky $\small ABB_0$ a $\small BCB_0$ sú pravouhlé.
  • Pytagorova veta: $\small AB_0= c² - d²  , \small CB_0 = b² - d²$.
  • Veľkosť strany $b = \small AB_0+CB_0$.

1. V diskusii určujeme za akých podmienok je úloha riešiteľná, prípadne určujeme koľko má vyhovujúcich riešení resp. skúmame závislosť riešenia od zadaných prvkov.
2. V tejto úlohe výhodne vyžijeme posuvníky a počet riešení odvodíme od vzájomnej polohy daných prvkov.

1. Pokiaľ platí, že $0 < \alpha < 90°$, potom je $0 < d < c$ a úloha
              a) nemá riešenie, ak $0 < a < d$
              b) má práve jedno riešenie pre $a = d$ alebo $a ≥ c$
              c) má práve dve riešenia za podmienky $d < a < c$. 
2. Pre $90° ≤ α < 180°$ je diskusia jednoduchšia, úloha
             a) nemá riešenie za podmienky $0 < a ≤ c$  
             b) má práve jedno riešenie, pokiaľ platí $a > c$.

Cieľom tejto skupinovej aktivity je precvičiť a prehĺbiť chápanie základných vlastností trojuholníkov a zároveň si prakticky vyskúšať klasické euklidovské konštrukcie. Každá skupina má za úlohu riešiť úlohy krok za krokom, diskutovať o postupe, zaznamenávať pozorovania a pripraviť krátke zhrnutie pre spolužiakov.

💬 Pomôcka pre učiteľa: Aktivity možno diferencovať podľa náročnosti – slabším skupinám možno ponúknuť návod na konštrukciu, silnejšie môžu formulovať svoje hypotézy samostatne. Skupinová diskusia a prezentácia môžu byť hodnotené formou rubriky (kritériá: spolupráca, argumentácia, tvorivosť, presnosť).