Afinný priestor a afinné zobrazenia interaktívne

Afinné zobrazenie

Všeobecne dim

Nech

$\small \mathbb E_r, \mathbb E_s$ sú euklidovské podpriestory priestoru

$\small \mathbb E_n$ a zobrazenie

$f: \small \mathbb E_r \rightarrow \mathbb E_s$
je afinné zobrazenie podpriestoru

$\small \mathbb E_r$ do podpriestoru

$\small \mathbb E_s$ .

Zvoľme si ľubovoľný bod

$\small P[x_1,x_2, ..., x_r] \in \mathbb E_r$ , ktorý je lineárneárnou kombináciou bodov

$\small A_1[a_{11},...,a{1r}], A_2[a_{21},...,a_{2r}],...,A_r[a_{r1},...,a_{rr}], A_{r+1}[a_{{r+1},1},...,a_{{r+1},r}]$ .
V takom prípade musia existovať reálne čísla

$\small \alpha_1, ..., \alpha_r$
(1)

$\small P=\alpha_1 \cdot A_1+...+\alpha_{r+1} \cdot A_{r+1}$

$\small 1=\alpha_1 + \alpha_2+... +\alpha_{r+1}$ .
Nech bod

$\small P'[x'_1,x'_2, ..., x'_s]$ je obraz bodu

$\small P[x_1,x_2, ..., x_{r+1}]$ v zobrazení

$f: \small \mathbb E_r \rightarrow \mathbb E_s$ . Zobrazenie

$\small f$ je lineárne, preto pre obraz

$\small P'$ bude platiť
(2)

$\small P'=f(P)=\alpha_1 \cdot A'_1+...+\alpha_{r+1} \cdot A'_{r+1}$ ,

$\small 1=\alpha_1 + \alpha_2+... +\alpha_{r+1}$ .
Keďže bod

$\small P'[x'_1,x'_2, ..., x'_s]$ je bodom podpriestoru

$\small \mathbb E_s$ musí mať

$s$ súradníc ale je lineárnou kombináciou práve

$r+1$ . Potom sústavu rovníc (1) a (2) môžeme vyjadriť v maticovom tvare

$\small P=M \times A= \left(\begin{array}{ccc} a_{11}&...&a_{{r+1},1} \\ a_{12}&...&a_{{r+1},2} \\ ... \\ a_{1{r}}&...&a_{{r+1},r}\\1&...&1 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{ccc} \alpha_1 \\ \alpha_2\\ ... \\\alpha_r \\\alpha_{r+1} \end{array}\right)$ .

$\small P'=M' \times A =\left(\begin{array}{ccc} a'_{11}&...&a'_{{r+1},1} \\ a'_{12}&...&a'_{{r+1},2} \\ ... \\ a'_{1{s}}&...&a'_{{r+1},s}\\1&...&1 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{ccc} \alpha_1 \\ \alpha_2\\ ... \\\alpha_r \\\alpha_{r+1} \end{array}\right)$ .

Po vyjadrení

$\small \mathrm A=\mathrm M^{-1} \times P$ z prvej maticovej rovnicer a po dosadení do druhej dostaneme riešenie

$\small P'=M' \times M^{-1} \times P$ .

Poznámka.
Výsledná matica

$\small P′$ má zrejme rozmer

$\small s \times (r+1)$ , teda bod

$\small P′$ má

$\small s$ súradníc!

$<span class="nolink">$ .$ $