Afinná geometria - zobrazenia, vizualizácie, aplikácie

♥ Príklad - Tri body.
Afinné zobrazenie $\small f$ zobrazuje body $\small A[2, 1], B[3, 0], C[1, 4]$ do bodov $\small A'[1, 6], B'[1, 9], C'[3, 1]$ v tomto poradí. Kam sa zobrazí bod $\small P[5, 7]$ resp. bod $\small X[x, y]$? Prevzaté z práce [CHP, 2010], Cvičenie 28.

Riešenie.
Riešenie úlohy je založené na vyjadrení jedného bodu ako afinnej kombinácie ostatných. Táto kombinácia je určená trojicou reálnych čísel (tzv. barycentrických súradníc), ktoré následne použijeme aj pre určenie obrazu zobrazovaného bodu. Tento postup využíva fakt, že afinné zobrazenie zachováva afinné kombinácie.
Bod $\small P[5, 7]$ vyjadrime ako lineárnu kombináciu bodov $\small A[2, 1], B[3, 0], C[1, 4]$. V takom prípade musia existovať reálne čísla $\small a,b,c$
(1) $\small P=a \cdot A+b \cdot B+c \cdot C$
$\small a+b+c=1$.
Zobrazenie $\small f$ je lineárne, preto pre obraz $\small P'[x',y']$ bodu $\small P$ bude platiť
(2) $\small P'=f(P)=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C'$, pričom tiež musí platiť $\small a+b+c=1$
Sústavu rovníc (1) a (2) vyjadríme v maticovom tvare a vyriešime.

Pri riešení použijeme kalkulátor "Matrix calculator", ktorý je dostupný Tu.

$\small P=\mathrm M \times \mathrm A:\;\;\left(\begin{array}{ccc}5 \\ 7\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 2&3&1 \\ 1&0&4\\ 1&1&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}a \\ b\\ c \end{array}\right)$ matica vzorov $\times$ matica neznámych

$\small P'=\mathrm M' \times \mathrm A:\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&3 \\ 6&9&1\\ 1&1&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}a \\ b\\ c \end{array}\right)$ matica obrazov$\times$ matica neznámych
Po vyjadrení
$\small \mathrm A=\mathrm M^{-1} \times P: \left(\begin{matrix} -2 & -1 & 6 \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-7}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-3}{2} \end{matrix}\right)  \times \left(\begin{matrix}5 \\7 \\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11 \\\frac{15}{2} \\\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$
a po dosadení do (2) dostaneme riešenie
$\small P'=\mathrm M' \times M^{-1} \times \mathrm P:\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)= \left(\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 6 & 9 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} -2 & -1 & 6 \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-7}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-3}{2} \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}\right)$.
matica obrazov$\times$ inverzná matica vzorov $\times$ matica súradníc zobrazovaného bodu
Po roznásobení
$\small P':\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)= \left(\begin{matrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}10 \\6 \\1\end{matrix}\right)$.
Porovnaním ľavej a pravej strany dostaneme riešenie $\small P'=[10,6]$.
Ak pre bod $\small P$ zvolíme všeobecné súradnice $\small P=[x,y]$, tak riešenie môžeme zapísať v tvare
$\small P': \left(\begin{matrix}x' \\y' \\1\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} x+y-2 \\ 2x-y+3 \\ 1 \end{matrix}\right).$

Transformačné rovnice afinného zobrazenia.
Porovnaním riadkov matíc dostaneme sústavu, ktorú budeme nazývať "transformačné rovnice zobrazenia". V našom príklade to budú rovnice 
$x'=\;x+y-2\\y'=2x-y+3$
Dosaďte súradnice $\small P[5, 7]$ do tejto sústavy a zistíte súradnice hľadaného bodu $\small P'[10, 6]$.

Iný spôsob riešenia príkladu "Tri body".
Po dosadení súradníc do vťahu (1) dostaneme $\small [5, 7]=a \cdot [2, 1]+b \cdot [3, 0]+c \cdot [1, 4]$, čo po roznásobení predstavuje sústavu troch rovníc o troch neznámych
$\small 2a+3b+c=5 \\ \small a+0b+4c=7 \\ \small a+b+c=1$.
Riešením tejto sústavy je trojica čísel $\small \left\{ a = -11, b = \frac{15}{2}, c = \frac{9}{2} \right\}$.
V afinnom zobrazení sa kolineárnosť zachováva, preto platí $\small P'=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C'$. Po dosadení riešenia $\small \left\{ a = -11, b = \frac{15}{2}, c = \frac{9}{2} \right\}$ a súradníc bodov $\small A'[1, 6], 'B[1, 9], C'[3, 1]$ do vzťahu (2) dostaneme
$\small {x(P')}=1 \cdot (-11) + 1 \cdot \frac{15}{2}+3 \cdot \frac{9}{2}=-11+21=10\\ \small {y(P')}=6 \cdot (-11) + 9 \cdot \frac{15}{2}+1 \cdot \frac{9}{2}=6.$

Pozrite si riešenie v GeoGebre Tu. Kompletné grafické riešenie pre afinné zobrazenie určené obrazmi troch bodov otvorte si Tu.

Príklad - Ťažisko trojuholníka.
Zobrazenie $f$ roviny $\small \mathbb E_2$ do tej istej roviny, ktoré bodu $\small X \in \overleftrightarrow {PQ}$ priradí bod $\small f(X)=\frac{1}{3}A+ \frac{1}{3}B +\frac{1}{3}X$ je afinné zobrazenie. Zobrazenie, ktoré trojuholníku s jedným premenným vrcholom priradí jeho ťažisko je afinné zobrazenie. Pozrite si dôkaz, že takéto zobrazenie je afinné Tu.