Jordanova miera

Archimedes Meranie kruhu

Kruh cvičenie

Úlohy pre študentov gymnázií, ktoré ilustrujú geometrické princípy, ktoré Archimedes použil. Tu sú štyri úlohy, ktoré by im mohli pomôcť pochopiť túto metódu:

Určenie obvodu pravidelného mnohouholníka vpísaného do kruhu.

Cieľ: Študenti pochopia, ako Archimedes používal mnohouholníky na určenie obvodu kruhu.
Zadanie: Obvod n-uholníka.

Využitím GeoGebry vpíšte pravidelný n-uholník $\small U=A_1A_2 \dots A_n; n \geq 3$ do daného kruhu kruhu $\small k(S,r=1)$ . Počet vrcholov $\small n$ zadávajte pomocou posuvníka. Vypočítajte jeho obvod $\small O_U$ ako n-násobok veľkosti strany $\small A_1A_2$ a porovnajte ho s obvodom kruhu, ktorý dnes určíme pomocou vzorca $\small O_k=2 \pi r$ . Zadanie Tu.
Potom zväčšujte počet strán mnohouholníka (napr. dvanásťuholník, dvadsaťšesťuholník atď.) a opäť vypočítajte obvod.
Určte podiel $\frac{O_u}{2r}$ a porovnajte so známym aproximovanou hodnotou $\small \pi (3,14159)$ a diskutujte, ako sa hodnota zlepšuje so zvyšujúcim sa počtom strán mnohouholníka.

Výpočet obsahu vpísaného mnohouholníka.

Cieľ: Získanie predstavy o tom, ako Archimedes odhadoval hodnotu

$\small \pi$ pomocou obsahu vpísaného mnohouholníka.
Zadanie: Obsah štvorca, šesťuholníka a osemuholníka, ktoré sú vpísané do kruhu. Vypočítajte ich obsahy pomocou obsahu stredového trojuholníka

$\small SA_1A_2$ .

Využitím GeoGebry vpíšte pravidelný n-uholník $\small U=A_1A_2 \dots A_n; n \geq 4$ do daného kruhu kruhu $\small k(S,r=1)$ . Počet vrcholov $\small n$ zadávajte pomocou posuvníka. $\small S_k=\pi r^2$ . Zadanie Tu.
Potom zväčšujte počet strán na dvojnásobok ( osemuholník, šestnásťuholník atď.) a opäť vypočítajte obsah.
Porovnajte vaše výsledky so známym výsledkom pre obsah kruhu $\small \pi r^2$ a diskutujte, ako sa hodnota zlepšuje so zvyšujúcim sa počtom strán mnohouholníka.

Aplikácia Archimédovej metódy na n-uholníky (všeobecne).

Cieľ: Rozšíriť pochopenie Archimedovej metódy a uplatniť ju na rôzne mnohouholníky.
Zadanie: Vypočítajte veľkosť strany pravidelného mnohouholníka n-uholník

$\small U=A_1A_2 \dots A_n; n \geq 6$ ak poznáte veľkosť strany pravidelného mnohouholníka 2n-uholník

$\small U_2=A_1A_2 \dots A_2n$ .

Otvorte si applet Tu.

Porovnajte vaše výsledky s výsledkom v práci (BEC, 2012) str.51 a diskutujte, ako sa hodnota zlepšuje so zvyšujúcim sa počtom strán mnohouholníka.

Po vyriešení týchto úloh môžu študenti diskutovať o tom, ako Archimedes začal s jednoduchými mnohouholníkmi a postupne zlepšoval svoj odhad pomocou stále presnejších metód. Týmto spôsobom študenti pochopia aj historický kontext a postupnosť vývoja matematických metód.

Výpočty s využitím súčasných znalostí si môžete pozrieť Tu.

$<span class="nolink">$ .$ $