Afinný priestor a afinné zobrazenia interaktívne

Príklad - Zbierka (MOZ, 2016) Úloha 1.4.11
Napíšte parametrické aj neparametrické vyjadrenie roviny $\rho$, ktorá prechádza bodom $\small A[2, 3, -1]$ a je rovnobežná s priamkami $p,q$, ktorých parametrické vyjadrenia sú:

Riešenie.
1. Smerový vektor priamky $p$ je $\vec{v_p} = (-1, 3, 2)$ a smerový vektor priamky $q$ je $\vec{v_q} = (4, 1, -3)$.
2. Vektorový súčin $\vec{v_p} \times \vec{v_q}$ na získanie normálového vektora roviny. Normálový vektor roviny $\rho$ je kolmý na oba smerové vektory priamok $p$ a $q$. Vypočítame:
$\small \vec{n} = \mathbf{i}(3 \cdot (-3) - 2 \cdot 1) - \mathbf{j}((-1) \cdot (-3) - 2 \cdot 4) + \mathbf{k}((-1) \cdot 1 - 3 \cdot 4)$
$\small \vec{n} = \mathbf{i}(-9 - 2) - \mathbf{j}(3 - 8) + \mathbf{k}(-1 - 12)$
$\small \vec{n} = \mathbf{i}(-11) - \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(-13)$
$\small \vec{n} = [-11, 5, -13]$
Rovnica roviny $\rho$: Všeobecná rovnica roviny $\rho$ je daná tvarom: kde $\small  [x_0,y_0,z_0]$ je bod v rovine $\rho$ (v našom prípade bod $\small A = [2, 3, -1]$), a $\small  a,b,c$ sú zložky normálneho vektora $\small \vec{n} = [-11, 5, -13]$. Dosadením do všeobecnej rovnice roviny dostaneme: odkiaľ všeobecná rovnica roviny $\rho$ je: 

Parametrické - vyjadrenie roviny $\rho$.

$\small \mathbf{\rho}(s, t) = A + s\vec{v_p} + t\vec{v_q}$,

$\small \mathbf{\rho}(s, t)  \begin{cases} x_1 = 2 - s + 4t \\ x_2 = 3 + 3s + t \\ x_3 = -1 + 2s - 3t \end{cases}$