Naivná a axiomatická teória množín

Definícia - kardinálne číslo.
Každej triede rozkladu $\small T_A= \lbrace X \in S:X \approx A \rbrace$ na systéme $\small S$ všetkých množín priradíme symbol, ktorý nazveme
                                                  kardinálne číslo množiny $\small A$ .
Symboly používané pre kardinálne číslo množiny $\small A$ sú: $\text{card}(A)$ alebo $\small \#A$ , prípadne $\small |A|$.

S kardinálnymi číslami sa stretávajú už žiaci na ZŠ. Napríklad pomocou nasledujúceho diagramu ukážu žiaci na prvom stupni ZŠ, že počet „krúžkov“ v prvej skupinke je rovný počtu „štvorčekov“ v druhej skupinke.
Spoločnú vlastnosť týchto dvoch skupín neskôr pomenujú slovom tri a na označenie použijú arabskú číslicu 3.
                                                  
Terminológiu teórie množín v zásade nepoužívajú, ale používajú termíny ako skupina, hromada, a pod. Uvedomte si, že grafické spájanie predstavuje prosté zobrazenie z jednej do druhej množiny.

Prirodzené čísla ako kardinálne čísla.
Nech $\small S$ je nekonečná množina a nech $\small K$ je ľubovoľná konečná podmnožina množiny $\small S$. Potom množina
                                                  $\small N= \lbrace{\text{card}(K);K \subset S}\rbrace$
je množina prirodzených čísel.

Nasledujúci príklad je z pracovného listu prvý ročník základnej školy hovorí o kardinálnom čísle množiny, ktorá má práve štyri prvky. Žiaci sú nútení abstrahovať od farby a veľkosti jabĺk v skupine. Príklad môže byť modifikovaný rôznymi typmi otázok. Napríklad môžeme sa pýtať, koľko je červených jabĺk a pod. 

Príklad.
Na obrázku sú jablká rôznej farby a veľkosti. Pýtame sa: Koľko jabĺk vidíme na obrázku?
                                  
Odpovedáme: Na obrázku vidíme 4 jablká.

Definícia - kardinálne číslo konečnej a nekonečnej množiny.

1. Ľubovoľné prirodzené číslo n budeme stotožňovať s kardinálnym číslom $n$-prvkovej množiny. Teda napríklad $\small |\emptyset| = 0, | \lbrace{\emptyset}\rbrace | = 1 , | \lbrace{\emptyset, \lbrace{\emptyset}\rbrace}\rbrace | = 2.$
2. Kardinálne číslo množiny prirodzených čísel budeme označovať $\aleph_0$. Kardinálne čísla menšie než $\aleph_0$ voláme konečné. Kardinálne číslo $a$ voláme nekonečné, ak $a \geq \aleph_0$.
3. Kardinálne číslo potenčnej množiny $\small P(N)$ budeme označovať $c$. (Toto kardinálne číslo sa niekedy nazýva kardinalita kontinua.)

Poznámka. Pre každé kardinálne číslo platí buď je konečné alebo nekonečné. Na dôkaz tohto tvrdenia potrebujeme axiómu výberu.