Naivná a axiomatická teória množín

Cvičenia

Riešte nasledujúce úlohy.

Rozhodnite, či sú nasledujúce tvrdenia pravdivé pre ľubovoľné množiny $\small A, B,C$ . Môžete využiť Vennove diagramy.

Operácie zjednotenie aj prienik množín sú komutatívne aj asosiatívne.
$\small A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)$ (distributívnosť).
$\small ∅ ⊆ A; A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B$ .
$\small A - (B ∩ C) = (A - B) ∪ (A - C), A - (B ∪ C) = (A - B) ∩ (A - C).$
$\small A ∩ B ⊆ C$ práve vtedy, keď $\small A ⊆ C$ alebo $\small B ⊆ C$ .

Základné vlastnosti karteziánskeho súčinu

Kardinálne čísla. Dokážte, že:

Množina všetkých párnych prirodzených čísel je spočítateľná.
Množina všetkých bodov danej úsečky je nespočítateľná.
Ľubovoľná podmnožina spočítateľnej množiny je spočítateľná množina.
Zjednotenie a prienik dvoch spočítateľných množín je spočítateľná množina.
Karteziánsky súčin dvoch spočítateľných množín je tiež spočítateľná množina.
Ukážte, že $\small \left| \mathbb{Z} \right| =\aleph_0$ . (T.j. nájdite bijekciu medzi množinou celých čísel $\small \mathbb{Z}$ a množinou prirodzených čísel $\small \mathbb{N}$ .)
Ukážete, že platí $\aleph_0 \cdot \aleph_0 = \aleph_0$ . Dôsledok: množina racionálnych čísle je spočítateľná.
Dokážte, že pre ľubovoľné prirodzené čísla $x,y$ platí:

$x \cdot 0 = 0$ agresívnosť nuly
$x \cdot y=y \cdot x$ komutatívnosť násobenia

Využite vlastnosti karteziánskeho súčinu alebo matematickú indukciu.

Riešte úlohy:

Pomocou matematickej indukcie dokážte, že pre všetky prirodzené čísla $n \geq1$ platí:

$1^3+2^3+...+n^3= \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2$
$3^{3n}-3.2^{2n+3}$ je násobkom čísla 23.

Doplňte miesto hviezdičiek číslice tak, aby výsledok bol správny: 8*06 – 78*8 = **8* .
Nájdite v desiatkovej číselnej sústave trojciferné číslo $LIK. (L,I,K) -$ sú cifry tohto čísla, pre ktorého druhú mocninu platí: $(LIK)^2=BUBLIK$ .\).
V dvojcifernom čísle je jedna číslica väčšia do druhej o 1. Súčet druhých mocnín tohto čísla a čísla napísaného tými istými číslicami v obrátenom poradí je 1 553. Určte takéto dvojciferné číslo. [Cirjak, M. : Tvorivosť v matematike, str. 82].

Vennove diagramy:

Množinové operácie a ich reprezentácia. Zadané množiny:
A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {4, 5, 6, 7}.
Úlohy:
a) Znázornite na Vennovom diagrame prieniky, zjednotenia a rozdiely medzi množinami A, B a C.
b) Vyjadrite algebraicky operácie: $\small A ∩ (B ∪ C), (A ∖ B)∪ C$ $(A \setminus B) \cup C$ , a interpretujte výsledky na diagrame.
Predstavte si, že študenti v triede majú rôzne záujmy.
Úloha:
- Množina A: Študenti, ktorí čítajú knihy (35 študentov).
- Množina B: Študenti, ktorí sledujú filmy (50 študentov).
- Prienik A ∩ B: Študenti, ktorí robia obe aktivity (20 študentov).
Znázornite situáciu pomocou Vennovho diagramu a odpovedzte:
a) Koľko študentov číta knihy, ale nesleduje filmy?
b) Koľko študentov sa nezapája ani do jednej z aktivít, ak je celkový počet študentov 80?
Overovanie výrokov cez Vennov diagram
Úloha: Vyjadrite a overte nasledujúce logické výroky pomocou Vennových diagramov:
a) Ak je $\small A ⊆ B$ , tak platí $\small A \cap B = A$ .
b) Ak $\small A \cap B = ∅$ , tak $\small A \cup B = A + B$ (množiny sú disjunktné).
Načrtnite vhodné diagramy a vysvetlite, prečo tieto výroky platia alebo neplatia.
Práca s reálnymi dátami
Úloha: Z nasledujúcich údajov o preferenciách jedál v skupine študentov:
- 40 študentov má rado pizzu,
- 30 má rado cestoviny,
- 20 má rado oboje,
- Celkovo je 60 študentov.
a) Znázornite situáciu na Vennovom diagrame.
b) Koľko študentov nemá rado ani pizzu, ani cestoviny?
c) Koľko študentov má rado iba jedno z týchto jedál?
Slovné úlohy
Úloha: Na univerzite si študenti mohli zapísať tri kurzy:
- Kurz matematiky (M),
- Kurz fyziky (F),
- Kurz informatiky (I).
Počet študentov v jednotlivých množinách je:
- M: 50, F: 40, I: 30,
- M ∩ F: 20, M ∩ I: 15, F ∩ I: 10,
- M ∩ F ∩ I: 5.
a) Koľko študentov si zapísalo aspoň jeden kurz?
b) Koľko študentov si zapísalo iba matematiku?
c) Znázornite všetky vzťahy pomocou trojitého Vennovho diagramu.
.

$<span class="nolink">$ .$ $