Naivná a axiomatická teória množín

Východiská

Usporiadaná dvojica

V ZFC axiomatickej teórii vieme dokázať tvrdenia, pričom môžeme používať iba logické spojky, kvantifikátory, premenné. Prakticky vieme dokázať všetko, čo sa študuje v modernej matematike. Pri budovaní číselných oborov je veľmi frekventovaným pojmom usporiadaná dvojica. V rámci ZFC tento pojem ľahko zadefinujeme pomocou použitím axiómy dvojice a zjednotenia množín.

Usporiadaná dvojica.
Nech

$a, b$ sú množiny. Potom množinu

$(a, b) := \lbrace{{a}, \lbrace{a, b}\rbrace }\rbrace$

nazývame usporiadanou dvojicou množín

$a$ a

$b$ .

Všimnime si, že že pre ľubovoľné množiny

$a, b,c, d$ platí

Tvrdenie.

$(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d$ .

[Dokážte toto tvrdenie ako cvičenie.]
Existencia usporiadanej dvojice spolu s predchádzajúcim tvrdením, nám umožňuje pracovať s binárnymi reláciami vhodne definovanými na karteziánskom súčine nejakej číselnej množine.

Napríklad, ak chceme zaviesť celé čísla pomocou množiny z prirodzených čísel tak stačí zaviesť reláciu ekvivalencie na N × N:

$(a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = b + c$ .

Takto zavedená relácia je reláciou ekvivalencie. Ako neskôr uvidíme triedy ekvivalencie budú celými číslami.

$<span class="nolink">$ .$ $