Naivná a axiomatická teória množín

Východiská

Axiomatický systém

V tejto časti uvedieme základné axiómy, pomocou ktorých budujeme teóriu množín. Nami použitý systém axióm je najviac rozšírený. Nazýva sa Zermelov-Fraenkelov systém a označujeme ho symbolicky ZFC. Písmeno C označuje axiómu výberu – Axiom of Choice.
Tvrdenia odvodené v axiomatickom systéme ZFC predstavujú formuly jazyka teórie množín. Takéto formuly sa dajú vyjadriť pomocou konečného počtu kvantifikátorov, logických spojok, premenných a symbolov

$∈ , =$ . Príkladom takejto formuly je definícia podmnožiny

$(∀z)(z ∈ \small A ⇒ \normalsize z ∈ \small B)$ .

Dve množiny sa rovnajú práve vtedy, keď obsahujú rovnaké prvky.

Axióma I - Axióma extenzionality.

$(∀\small X)(∀\small Y)[(\small X = \small Y) ⇔ (∀z)(z ∈ \small X ⇔ z ∈ \small Y)]$ .

Táto axióma vlastne popisuje základnú vlastnosť množín – množina je jednoznačne určená prvkami, ktoré obsahuje.
Zrejme teória množín by nemala zmysel, ak by sme nezaručili existenciu aspoň jednej množiny. Toto nám zaručí axióma existencie.

Axióma IV - Axióma existencie.

$(∃\small X)(\small X = \small X)$ .

Existuje aspoň jedna množina. Pre každú množinu platí, že sa rovná sama sebe a to vďaka vlastnostiam relácie rovnosti.

Axióma II - Axióma zjednotenia množín.

$(∀ \small A)(∃ \small U)(∀ \normalsize z)(z ∈ \small U ⇔ (∃ \normalsize A' ∈ \small A)(\normalsize z ∈ A')$ .

Pre ľubovoľnú množinu

$\small A$ existuje taká množina

$\small U$ , ktorá obsahuje práve tie prvky, ktoré patria do niektorej z množín patriacich do

$\small A$ .

Axióma III - Axióma dvojice.

$(∀\normalsize a)(∀\normalsize b)(∃\small C)(∀\normalsize z)[\normalsize z ∈ \small C ⇔ (\normalsize z = \normalsize a) ∨ (\normalsize z = \normalsize b)]$ .

$a, b$ sú množiny, tak existuje množina ktorá obsahuje práve prvky

$a, b$ a žiadne iné. Túto množinu označíme

$\lbrace{a,b}\rbrace$ .
Pomocou axiómy dvojice a axiómy zjednotenia sa dá ukázať, že pre ľubovoľné dve množiny A, B existuje ich zjednotenie

$\small A ∪ \small B = \lbrace{\normalsize x; (\normalsize x ∈ \small A) ∨ (\normalsize x ∈ \small B)}\rbrace$ .

Axióma X - Axióma nekonečnej množiny.

$(∃A)[∅ ∈ A ∧ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∪ {x} ∈ A)]$

Táto axióma spolu s axiómou dvojice umožňuje rekurentne skonštruovať nekonečnú množinu. Zrejme

$\small A_0 := ∅$ patrí do

$\small A$ . Potom do

$\small A$ patrí aj

$\small A_1 := A_0 ∪ \lbrace{A_0}\rbrace = \lbrace{∅}\rbrace$ . Takto môžeme postupne vytvárať ďalšie množiny.

$\small A_0 = ∅$

$\small A_1 = A_0 ∪ \lbrace{A_0}\rbrace = \lbrace{∅}\rbrace$

$\small A_2 = A_1 ∪ \lbrace{A_1}\rbrace = \lbrace{∅, \lbrace{∅}\rbrace}\rbrace$

$\small A_3 = A_2 ∪ \lbrace{A_2}\rbrace = \lbrace{∅, \lbrace{∅}\rbrace, \lbrace{\lbrace{∅, \lbrace{∅}\rbrace}}\rbrace}\rbrace$
.
.

Poznámky.

V tomto redukovanom prehľade axióm teórie množín sme uvidli len tie, s ktorými sa študent učiteľstva matematiky stretáva najčastejšie.
Na záver uvedieme modifikovanú textovú formu axiómy výberu.
Axióma výberu hovorí, že pre každý systém $\small S$ disjunktných neprázdnych množín existuje funkcia $\normalsize f : \small S → \small S$ , ktorá každej množine $\small A ∈ \small S$ priradí nejaký prvok tejto množiny.

$<span class="nolink">$ .$ $