Naivná a axiomatická teória množín

Nech $\small A , B$ sú ľubovoľné množiny.

Definícia.

1. Množinu do ktorej patria práve prvky patriace do množiny $\small A$ alebo do množiny $\small B$ nazývame zjednotenie množín A, B a označujeme $\small A \cup B$.
   $\small A \cup B = \lbrace{\normalsize x;x \in \small A \vee \normalsize x \in \small B }\rbrace$
2. Množinu ktorá obsahuje práve prvky patriace súčasne do $\small A$ aj do $\small B$, nazývame prienik množín $\small A , B$ a označujeme ju $\small A \cap B$.
   $\small A \cap B = \lbrace{x;x \in A \wedge x \in B }\rbrace$

Na znázornenie množinových operácií sa s výhodou využívajú Vennove diagramy. Napríklad pri dôkazoch množinových identít môžeme znázorniť množiny ako uzavreté ohraničené rovinné útvary tak, aby pokrývali „všetky možné“ oblasti.

Definícia.

1. Rozdiel množín $\small A , B$ je množina
   $\small A - B  = \lbrace{x ∈ A; x \notin B }\rbrace$.
2. Symetrická diferencia množín $\small A , B$ je množina
   $\small A\; \Delta \;B = (A - B) ∪ (B - A)$

Zostrojte Vennove diagramy, ktoré budú interpretovať definície zjednotenia, prieniku, rozdielu a symetrickej diferencie množín!

Cvičenie.
Pomocou Vennových diagramov dokážte platnosť daného tvrdenia pre ľubovoľné množiny $\small A , B, C$:

1. $\small A ⊆ B ∩ C$ práve vtedy, keď $\small A ⊆ B$ a $\small A ⊆ C$;
2. $\small A ⊆ B ∪ C$ práve vtedy, keď $\small A ⊆ B$ alebo $\small A ⊆ C$;
3. $\small A \; \Delta \;A = ∅, A\; \Delta \;∅ = A; A ∪ B = A \;\Delta\; B \Delta \;(A ∩ B)$.