Polohové stereometrické úlohy - prieniky

Pri určovaní prieniku priamky a telesa postupujeme podobne ako pri priesečníku priamky s rovinou. Postup pri hľadaní priesečníka priamky s mnohostenom môžeme zhrnúť do nasledujúcich štyroch bodov.

1. Zostrojíme pomocnú rovinu, v ktorej daná priamka leží.
2. Pomocnú rovinu zvolíme tak, aby bol jej prienik s telesom čo najjednoduchší.
3. Pri prieniku priamky s hranolom sa najčastejšie volí rovina rovnobežná s bočnými hranami telesa.
4. Pri prieniku priamky a ihlana je vhodné zvoliť vrcholovú rovinu. Je to rovina, ktorá prechádza vrcholom ihlana.

Ukážka prieniku priamky s kockou. Applet je dostupný Tu.

Cvičenie.
Zostrojte prienik (úsečku $\small PQ$) priamky $\small KM$ s ihlanom $\small ABCDV$. Určte jej skutočnú dĺžku, ak $\small |AB| =1$.

Do kocky $\small ABCDEFGH$ je vložený štvorboký ihlan $\small ABCDV$, kde bod $\small V$ je stred hornej podstavy. Na polpriamke $\small DA$ za bodom $\small A$ leží bod $\small K$ na polpriamke $\small FG$ za bodom $\small G$ leží bod $\small M$.

Komentár k riešeniu

• Priamku $\small KM$ umiestnime do pomocnej roviny $\sigma=\small VKM$. Rovinu určíme priamkou $\small VM$ a rovnobežkou $r$, pričom platí: $r∥\small VM, K∈r$.
• Rezom ihlana $\small ABCDV$ rovinou $\small VKM$ je trojuholník $\small UWV$, kde ${\small U} = r ∩ \small AB, {\small W} = r ∩ \small BC$.
• Prienik priamky $\small KL$ so stranami $\small UV, VW$ sú hľadané priesečníky $\small P, Q$.
• Konštrukciu skutočnej dĺžky $\small PQ$ urobíme pomocou štvoreca $\small ABCD$. Musíme preniesť úsečky s odpovedajúcimi rozmermi. V tomto prípade je urobená konštrukcia len pre prípad ak bod $\small W$ je bodom úsečky $\small BC$.

Vyriešte úlohu "Prienik priamky s kockou", otvorte si zadanie Tu.

Poznámky.

1. Učiteľ musí mať na zreteli, že úlohy tohto typu sú pomerne náročné aj pre stredoškolákov. Preto je vhodné na SŠ zadávať presné údaje v zadaní. Napr. v tejto úlohe by sme dodali, že bod $\small K$ je vzdialený od bodu $\small A$ o polovicu veľkosti strany štvorca, podobne aj bod $\small M$.
2. V takom prípade sa rovina rezu rovina prechádza stredom hornej podstavy a rovnobežka $r$ prechádza stredom dolnej podstavy, čo významnou mierou uľahčuje zostrojenie rezu.
3. Pri konštrukciách typu "zostrojte skutočnú veľkosť" učiteľ by mal pripomenúť študentom, že aj vo VRP sa zachováva podielový pomer. Niekedy stačí pripomenúť, že stred úsečky sa zobrazí do stredu úsečky. Dobré je tiež pripomenúť aj konštrukciu delenia úsečky na rovnaké časti pomocou rovnobežiek.