Polohové stereometrické úlohy - prieniky

V časti Vzájomná poloha rovín sme ukázali, že v euklidovskom priestore pre vzájomnú polohu dvoch rovín môže nastať len jeden z nasledujúcich prípadov. Roviny sú

1. totožné, roviny majú všetky body spoločné,
2. rovnobežné, roviny nemajú žiadne spoločné body,
3. rôznobežné, roviny majú spoločnú priamku.

Poznámky.

1. Prienikom dvoch rôznobežných rovín je v dôsledku axióm incidencie priamka, ktorú budeme nazývať priesečnica. Pri hľadaní priesečnice dvoch rovín stačí nájsť také dva body, ktoré patria jednej a zároveň aj druhej rovine. Budeme vychádzať z axióm:
2. Axióma I6: Ak dva rôzne body $\small A, B$ priamky $\small p$ ležia v rovine $\alpha$, potom každý bod priamky $p$ leží v rovine $\alpha$.
3. Axióma I7: Ak dve roviny $\alpha,\beta$ majú spoločný bod $\small A$, potom majú spoločný ešte aspoň jeden bod $\small B$, rôzny od $\small A$.

Postup konštrukcie/hľadanie priesečnice rovín.

1. Určíme najskôr rezy telesa obidvoma rovinami.
2. Nájdeme dva rôzne body $\small B,C$, ktoré ležia v obidvoch rovinách.

Hľadaná priesečnica je určená týmito dvoma bodmi.

Príklad.
Bod $\small M$ je stredom hrany $\small FG$ kocky $\small ABCDEFGH$. Zostrojte priesečnicu rovín $\alpha=\small \overleftrightarrow{AEC}$, $\beta=\small \overleftrightarrow{HMB}$.

Riešenie.
Najprv si musíme určiť rezy kocky rovinami $\alpha,\beta$ (využijeme axiómu I7). Rezom rovinou $\alpha$ je obdĺžnik $\small ACGE$ a rezom rovinou $\beta$ je rovnobežník $\small BMH1$, kde úsečka $\small 1H$ je časť rezu steny $\small ADHE$.
Hľadanú priesečnicu rovín $\alpha,\beta$ určíme dvoma rôznymi bodmi. Postačuje teda nájsť dva rôzne body, ktoré patria tak rovine $\alpha$ ako aj rovine $\beta$. Takéto body sú napríklad body $\small X,Y$, kde $\small {X} = \overleftrightarrow{EG} ∩ \overleftrightarrow{HM}$ a $\small {Y } = \overleftrightarrow{AC} ∩ \overleftrightarrow{B1}$.
Prienikom daných dvoch rovín je priamka $\small \overleftrightarrow{XY}$. Na záver ešte vyznačíme viditeľnosť’ obidvoch rezov kocky rovinami $\alpha,\beta$.

Applet je dostupný Tu. Vyriešte úlohu, otvorte si zadanie Tu.