Polohové stereometrické úlohy - prieniky

Príklad.
Daný je pravidelný šesťboký ihlan $\small ABCDEFV$, stred $\small S$ podstavy a pre bod $\small M$ platí $\small µ(SMB)$. Zostrojte rez ihlana rovinou, ktorá prechádza bodom $\small M$ a je rovnobežná s priamkou $\small BC$ a priamkou $\small DV$.

Rez ihlana - metóda rovnobežnosti

1. Najprv určime rezovú rovinu na základe rovnobežnosti priamky a roviny. Rovina bude určená rôznobežkami $p, q$.
2. Priamka $p$ je rovnobežná s priamkou $\small BC$ prechádzajúca bodom $\small M$ a $q$ je rovnobežka s priamkou $\small DV$ prechádzajúca bodom $\small 2$. Bod $\small 2$ je zrejme bodom roviny rezu.
3. Zrejme $p$ leží v rovine podstavy a $q$ v rovine steny $\small CDV$. Potom zrejme prienik podstavy ihlana s priamkou $p$ je úsečka 12.
4. Prienikom priamky $q$ a steny $\small CDV$ je zrejme úsečka 23, ktorá je časťou hľadaného rezu v bočnej stene $\small CDV$.

Pri dokončení rezu využijeme vetu o vzájomnej polohe troch rovín. Vetu aplikujeme na rovinu podstavy, rovinu bočnej steny $\small BCV$ a rezovú rovinu. Podľa spomínanej vety musia byt’ všetky tri priesečnice týchto troch rovín navzájom rovnobežné´, preto priesečnica priamky t a steny $\small BCV$ je úsečka 34, ktorá tvorí časť rezu v spomínanej stene ihlana.