Kvadratické funkcie a rovnice na SŠ

Rozklad kvadratického trojčlena na súčin dvoch lineárnych dvojčlenov.

Základná myšlienka tejto metódy spočíva v tom, že ak dokážeme nájsť rozklad v tvare Potom kvadratický trojčlen (ľavá strana rovnosti nadobudne nulovú hodnotu pre $x$ práve vtedy, ak súčin na pravej strane je rovný nule. To nastane presne vtedy, keď je aspoň jeden z faktorov sa bude rovnať nule resp. keď $x = u$ alebo $x = v$. Z toho vyplýva, že vyriešiť kvadratickú rovnicu znamená nájsť dve čísla $u,v$ s vlastnosťami Nájsť čísla $u+v=-\small B; \;\;u \cdot v=\small C$ nebýva vždy pre stredoškoláka jednoduché. Väčšinou ide o metódu pokus-omyl, ktorá samozrejme nemá algoritmický charakter. Neskôr, keď si žiaci osvoja metódu dopĺňania do štvorca, tak rozklad na súčin lineárnych dvojčlenov sa rieši pomocou dopĺňania do štvorca.

Uvažujme ľubovoľnú kvadratickú rovnicu: $\normalsize ax^2 + bx + c = 0, a \neq 0$. Na určenie koreňov tejto rovnice môžeme využiť rozklad na súčin dvoch lineárnych dvojčlenov. Postup je nasledovný

Aktivujte navigačný panel. Applet je dostupný Tu.

Definícia.
Hodnota $\normalsize b^2 - 4ac$ sa nazýva diskriminant kvadratickej rovnice a označuje sa ako $\small D$.

Je zrejmé, že existencia koreňov kvadratickej rovnice závisí od hodnoty diskriminantu. Možno povedať, že

1. ak $\small D > 0$, tak korene sú reálne a rôzne,
2. ak $\small D=0$, tak korene sú reálne a rovné,
3. ak $\small D < 0$, tak korene neexistujú resp. sú imaginárne.

Reálne korene kvadratickej rovnice sa dajú vyjadriť vzťahom $x_{1,2}=$$\Large \frac{- b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.