Afinná geometria - zobrazenia, vizualizácie, aplikácie

Afinné zobrazenie je jednoznačne určené obrazom súradného repéra. Táto kapitola predstavuje jeden z kľúčových bodov v analytickom prístupe ku geometrii – ukazuje, ako sa z geometrickej informácie o tom, kam sa zobrazia základné prvky súradnicového systému, dá určiť celé zobrazenie. V praxi sa s takýmto prístupom stretávame v grafických softvéroch, animáciách či pri automatizovanej transformácii objektov. Dôležité je pochopiť, že zafixovaním toho, čo sa stane s „kostrou“ priestoru (počiatkom $\small O$ a súradnými vektormi), sa určuje spôsob, akým sa bude transformovať celý priestor.

Z analytického vyjadrenia (REP) afinného zobrazenia $\small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m$ vyplýva, že takéto afinné zobrazenie je jednoznačne určené, ak poznáme obraz $\small \mathcal R' = \left\langle O';\pmb {e_1}',\pmb {e_2}', \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}'\right\rangle$ súradného repéru $\small \mathcal R =\left\langle O;\pmb {e_1},\pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle$ v tomto zobrazení. Analytické vyjadrenie daného zobrazenia je určené vzťahom (AV) v kapitole "Analytické vyjadrenie".
V tejto kapitole sa budeme zaoberať transformáciami euklidovskej roviny $\small \mathbb E_2=(\mathbb R_2, V_n(\mathbb R))$, ktorá má repér $\small \mathcal R =\left\langle O[0,0];\pmb {e_1}=(1,0),\pmb {e_2}=(0,1)\right\rangle$. Nech tento súradný repér v afinnom zobrazení $\small f$ sa zobrazí na repér $\small \mathcal R =\left\langle O';\pmb {e_1}',\pmb {e_2}'\right\rangle$. Vektory $\small \pmb {e_1},\pmb {e_2}$ sú lineárne nezávislé, preto aj ich obrazy $\small \pmb {e_1}',\pmb {e_2}'$ z predpokladu vyplýva, že sú lineárne nezávislé. Dokážte to!

Maticový zápis pre rovinné afinné zobrazenie $\small f: \mathbb E_2 \rightarrow \mathbb E_2$ určené obrazom repéra $\small \mathcal R =\left\langle O;\pmb {e_1},\pmb {e_2} \right\rangle$ bude mať nasledovný tvar

$\small \left(\begin{array}{ccc} x'\\ y' \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} a&c \\ b&d \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}x \\ y \end{array}\right) + \left(\begin{array}{ccc}p \\ q \end{array}\right)$ alebo $\small \left(\begin{array}{ccc} x'\\ y'\\1 \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} a&c&p \\ b&d&q \\ 0&0&1 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{ccc}x \\ y\\1 \end{array}\right)$,

kde $\small (a,b)=f^*(\vec e_1), (c,d)=f^*(\vec e_2)$ sú obrazy súradnicových vektorov v asociovanom zobrazení $\small f^*$ a $\small [p,q]=f(O)$ je obraz začiatku súradnej sústavy v afinnom zobrazení $\small f$.

Matica $\small \mathcal M_f= \left( \begin{array}{} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right)$ sa nazýva transformačná matica afinného zobrazenia $\small f$.
Pri určovaní afinného zobrazenia, ktoré je určené obrazom $\small \left\langle O', \vec e'_1, \vec e'_2 \right\rangle$, môžeme transformačné rovnice určiť priamo pomocou súradníc obrazu počiatku $\small O'$ a súradníc vektorov $\small \vec e'_1, \vec e'_2$. Súradnice obrazu ľubovoľného bodu $\small P$ roviny potom môžeme získať tak, že do transformačných rovníc dosadíme súradnice bodu $\small P[x_p, y_p]$.

Príklad - obraz bodu $\small P$ a kružnice euklidovskej roviny.

1. Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia, ktoré postupne zobrazuje body súradného repéra $\small O=[0, 0], E_1=[1, 0],E_2=[0, 1]$ do bodov $\small O'=O[0, 0], E_1'=E_1[1, 0], E_2'=[\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}]$ v tomto poradí.
2. Určte obraz ľubovoľného bodu $\small P[x_p, y_p]$.
3. Určte obraz kružnice $\small k(S=[0, 0],r=3)$ pomocou nástroja "Množina bodov".
4. Pokúste sa toto afinné zobrazenie geometricky interpretovať. Príklad je prevzatý z práce [CHP, 2010], Cvičenie 29.

Riešenie.

1. Najskôr musíme určiť obraz súradného repéra $\small \left\langle O, \vec e_1, \vec e_2 \right\rangle$. Keďže začiatok súradnej sústavy bod $\small O=O'[0, 0]$ je samodružný, tak pre obrazy vektorov $\small \vec e'_1, \vec e'_2$ bude platiť $\small \vec e'_1=(1,0), \vec e'_2=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$. Transformačné rovnice určíme dosadením súradníc obrazov vektorov $\small \vec e_1, \vec e_2$
   $\small a=1,b=0,c=\frac{1}{2},d=\frac{\sqrt{3}}{2}$
   a súradníc bodu $\small O'[p=0, q=0]$ do sústavy dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych
   $\small x'=a \cdot x+c \cdot y+p \\ \small y'=b \cdot x+d \cdot y+q.$
   Dostaneme transformačné rovnice
   $\small x' \, = 1 \cdot x + \frac{1}{2} \cdot y+0\\\small y' \, = 0 \cdot x +\, \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot y+0.$
2. Súradnice obrazu ľubovoľného bodu $\small P$ určíme dosadením jeho súradníc $\small x_p, y_p$ do transformačných rovníc. Pre súradnice $\small x_p', y_p'$ dostaneme
   $\small x_p'= x_p+\frac{1}{2} \cdot y_p+0$
   $\small y_p'=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot y_p+0.$
   Výsledok napríklad pre bod $\small P[-2, 3]$ je $\small P'\left [-\frac{1}{2}, \frac{3 \sqrt(3)}{2} \right ]$.
3. Samostatná práca: V GeoGebra applete (upravte applet "Kompletné grafické riešenie ..." z príkladu Tri body) si zvoľte si ľubovoľnú kružnicu $\small k(S, r)$ a na nej si zvoľte ľubovoľný "Bod na objekte" $\small L$. Potom vo vlastnostiach bodu $\small P$ v definícii zadajte P=L. Nakoniec aktivujte nástroj "Množina bodov" a kliknite postupne na bod $\small P'$ a potom na bod $\small L$.
   
   
4. Na základe obrazu kružnice ide o osovú afinitu, ktorej os je x-ová súradná os. Ukážte, že každý bod x-ovej súradnej osi je samodružný.
5. Kompletná konštrukcia - "Dynamický repér" Tu.

Uvádzame aj určenie rovníc pomocou maticovej kalkulačky
$\small P'=\left(\begin{matrix} x' \\ y' \\ 1 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} x+\frac{1}{2}y \\ \frac{\sqrt{3}}{2}y \\ 1 \end{matrix}\right)$.