Afinná geometria - zobrazenia, vizualizácie, aplikácie

Definícia, vlastnosti (zopakovanie z Lineárnej algebry).

Definícia (Skalárny súčin).
Nech $\small V_n(\mathbb R)$ je vektorový priestor nad poľom reálnych čísel. Zobrazenie $\small f$ (resp. operáciu $\small "\bullet "$)
$\small \bullet$: $\small V_n \times V_n \rightarrow \mathbb R$
nazveme skalárny súčin na $\small V_n(\mathbb R)$, ak pre každé $\small \vec a, \vec b, \vec c \in \small {V ,r \in \mathbb R }$ sú splnené tieto podmienky:

1. $\small \vec a \bullet \vec b = \vec b \bullet \vec a$
2. $\small (\vec a+\vec b) \bullet \vec c=\vec a \bullet \vec c + \vec b \bullet \vec c$
3. $\small (r.\vec a) \bullet \vec b = r (\vec a \bullet \vec b)$
4. pre každý vektor $\small \vec a \neq \vec 0$ je $\small \vec a \bullet \vec a > 0$.

Poznámky.

1. Vlastnosti (ii) a (iii) nastavujú požiadavku na linearitu v prvej zložke. Vlastnosť (i) žiada symetriu, tj linearita prvej zložky sa prenáša do zložky druhej. Tieto vlastnosti má symetrická bilineárna forma. Viac o bilineárnych formách nájdete Tu.
2. Vlastnosť (iv) hovorí, že forma musí byť pozitívne definitívna.
3. Skalárny súčin na reálnom priestore je teda symetrická pozitívne definitná bilineárna forma na danom priestore.
4. Pre skalárny súčin na reálnom priestore sa okrem označenia $\small \vec a \bullet \vec b$ používa:
5. • symbol pre funkciu $\small f(\vec a , \vec b)$ ako zobrazenie $\small V_n \times V_n \rightarrow \mathbb R$,
   • jednoduchý symbol pre násobenie $\small \vec a . \vec b$,
   • alebo len usporiadaná dvojica $\small (\vec a , \vec b)$.

Definícia.
Definícia normy a uhla vektorov

1. Norma vektora
   Nech $\small V_n(\mathbb R)$ je reálny vektorový priestor so skalárnym súčinom $\small f(\vec a , \vec b)$. Normou vektora $\small \vec v ∈ V$ rozumieme číslo:
   $\small ∥\vec v∥ = \sqrt{f(\vec v,\vec v)}$.
   Inak povedané, norma vektora je odmocnina zo skalárneho súčinu tohto vektora samého so sebou.
   Vektor $\small \vec v ∈ V$ sa nazýva normovaný (jednotkový), ak platí $\small ∥\vec v∥ = 1$.
2. Vektory $\small \vec u, \vec v ∈ V$ sú ortogonálne (na seba kolmé), ak ich skalárny súčin je rovný nule (nulovému prvku telesa $\small \mathbb R$ ).


3. Uhol vektorov
   Nech $\small V_n(\mathbb R)$ je reálny vektorový priestor so skalárnym súčinom $\small f(\vec a , \vec b)$. Uhlom nenulových vektorov $\small \vec u, \vec v ∈ V$ rozumieme číslo $\small φ$, pre ktoré platí:
   $\cos φ = \large {\frac{f(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\| \|\vec v\|}}$,
   kde $\small 0 ≤ φ ≤ π$.

Vážený skalárny súčin je oproti „stredoškolskému skalárnemu súčinu“ oveľa všeobecnejší. Stredoškolsky definovaný skalárny súčin (tiež nazývaný aj ako euklidovský skalárny súčin) na priestore $\small V_3(\mathbb R)$ je zavedený nasledovne. Ak $\small \vec a = [a_1, a_2, a_3], \vec b = [b_1, b_2, b_3]$, tak
$\small \vec a . \vec b = a_1 . b_1 + a_2 .b_2 + a_3 . b_3$
Presvedčte sa, že stredoškolsky definovaný skalárny súčin spĺňa podmienky uvedené v definícii, že je to symetrická pozitívne definitná bilineárna forma.
Definícia skalárneho súčinu môže mať rôzne podoby. Napríklad na množine spojitých funkcií intervalu ⟨a,b⟩ možno uvažovať skalárny súčin vo forme
$(f|g)= \int_{a}^{b}{f(x)g(x)} dx.$

Cvičenie.

1. Ukážte, že operácia $\small f$ definovaná na $\small \mathbb R^3$ takto:
   $\small f(\vec x , \vec y) = x_1 y_1+x_2 y_2+x_2 y_3+x_3 y_2+2x_3 y_3$.
   pre $\small \vec x = [x_1, x_2, x_3], \vec y = [y_1, y_2, y_3] \in \mathbb R^3$ spĺňa podmienky skalárneho súčinu.
2. Overte, či sú vektory $\small \vec x = (1,-3,2), \vec y = (2,1,-1)$ ortogonálne.
3. Určte ortogonálny doplnok podpriestoru $\small W = \{(1,2,-1)\}$. Ortogonálnym doplnkom podpriestoru $\small W$ priestoru $\small V$ je množina všetkých vektorov z $\small V$, ktoré sú kolmé na všetky vektory z $\small W$. 

Riešenie.
Dosadením súradníc vektorov $\small \vec a = [a_1, a_2, a_3], \vec b = [b_1, b_2, b_3], \vec c = [c_1, c_2, c_3] \in \mathbb R^3$ do definície skalárneho súčinu, ľahko overíme, že jednotlivé podmienky v definícii sú splnené. Pozrite si riešenie Tu.

Veta (Ďalšie vlastnosti skalárneho súčinu).

Nech $\small V(\mathbb R)$ je vektorový priestor so skalárnym súčinom, nechaj $\small \vec u, \vec v, \vec w \in V ,c \in \mathbb R$. Potom

1. $\small \vec w . (\vec u+\vec v) = \vec w . \vec u+ \vec w . \vec v$. Dokážte toto tvrdenie.
   Dôsledok: Pre skalárny súčin platí aj zovšeobecnený distributívny zákon.
2. $\small \vec u.(r.\vec v) = r.(\vec u.\vec v)$
3. $\small 0.\vec u = 0$. Dokážte tieto tvrdenia.
   Dôsledok: Pre skalárny súčin platí $\small \vec u.\vec u = 0 \Leftrightarrow \vec u = \vec 0$.

Veta (Určenie euklidovského skalárneho súčinu).
Nech $\small B = \left\langle \vec u_1, \vec u_2, . . . , \vec u_n \right\rangle$ je ortonormálna báza vektorového priestoru $\small V_n(\mathbb R)$ a nech $\small \vec a = (a_1, a_2, . . . ,a_n), \vec b = (b_1, b_2, . . . ,b_n)$ sú súradnice vektorov $\small \vec a,\vec b$ v báze $\small B$. Potom
$\small (\vec a,\vec b) = (a_1.b_1+ a_2.b_2+ . . . +a_n.b_n)$.

Dôkaz.
Nech  $\small \vec a = (a_1\vec u_1+ a_2.\vec u_2+ . . . +a_n\vec u_n), \vec b = (b_1\vec u_1+ b_2.\vec u_2+ . . . +b_n\vec u_n)$ sú súradnice vektorov v báze $\small B$. Definujme euklidovský skalárny súčin ako súčin mnohočlenov
$\small {(\vec a,\vec b) =\\=a_1.b_1\vec u_1\vec u_1+ a_1.b_2\vec u_1\vec u_2+ . . . +a_1.b_n\vec u_1\vec u_n+\\ +\;a_2.b_1\vec u_2\vec u_1+ a_2.b_2\vec u_2\vec u_2+ . . . +a_2.b_n\vec u_2\vec u_n+\\ +\;... \\ +\;a_n.b_1\vec u_n\vec u_1+ a_n.b_2\vec u_n\vec u_2+ . . . +a_n.b_n\vec u_n\vec u_n}$.

Využitím symetrie, distributívnosti a linearity skalárneho súčinu, vzťahov  $\small \vec u_i.\vec u_j = 0 ,i \neq j$;$\small \;\;\vec u_i.\vec u_i = 1$ a využitím komutatívnosti, distributívnosti násobenia a sčítania reálnych čísel dostaneme požadovaný výsledok.

Vektorový priestor $\small V_n(\mathbb R)$ s vyššie definovaným skalárnym súčinom nazývame Euklidovský (vektorový) priestor

Riešené príklady - $\small \TeX$ prezentácia Tu.