Afinná geometria - zobrazenia, vizualizácie, aplikácie

Rozšírením afinnej štruktúry (afinného priestoru) o metrické prvky zavedením skalárneho súčinu, vzniká euklidovský priestor. Tento priestor je východiskom k metrickej geometrii, v ktorej okrem polohových úloh dokážeme aj "merať".
Vektorový priestor, na ktorom je definovaný skalárny súčin (tiež nazývaný aj vnútorný súčin) umožňuje rozumne definovať metrické pojmy vzdialenosť a veľkosť uhla, čím v euklidovskom priestore vzniká geometrická metrika. Uvedieme riešené príklady s výpočtom vzdialenosti dvoch bodov, určenie súradníc stredu úsečky a úvahy o polohe bodov na úsečke, ktoré sú didakticky účinné.

Euklidovský priestor je $\small n$-rozmerný afinný priestor so zameraním $\small V_n(\mathbb R)$ a s vyššie definovaným skalárnym súčinom; označovať’ ho budeme symbolom $\small \mathbb E_n$.

Táto definícia presne vystihuje podstatu $\small n$-rozmerného euklidovského priestoru ako afinného priestoru so skalárnym súčinom na jeho zameraní. Pripomíname a zdôrazňujeme, že norma vektora je definovaná ako funkcia indukovaná skalárnym súčinom, čo je kľúčové pre geometriu euklidovského priestoru. Normu sme popísali v kapitole Cauchy-Schwarzova nerovnosť.

Definícia (Súradnicová sústava).
Lineárnu súradnicovú sústavu v $\small \mathbb E_n$ danú repérom $\small \mathcal R = \lbrace O; \vec e_1, \vec e_2, . . . , \vec e_n \rbrace$ nazývame karteziánskou súradnicovou sústavou, ak $\small \lbrace \vec e_1, \vec e_2, . . . , \vec e_n \rbrace$ je ortonormálna báza zamerania $\small V_n(\mathbb R)$.

Budeme používať označenie súradníc bodu: $\small X[x_1, x_2, . . . , x_n]$ (hraranté zátvorky) a označenie súradníc vektora: $\vec v = (v_1, v_2, . . . , v_n)$ (okrúhle zátvorky) v karteziánskej súradnicovej sústave.

Definícia (Vzdialenosť bodov).
Pod vzdialenosťou dvoch bodov $\small X,Y$ euklidovského priestoru rozumieme normu prislúchajúceho vektora $\vec v = \overrightarrow{XY}$, t.j.
$\small d(XY) = ||Y-X||= ||\vec{v} || = \sqrt{\overrightarrow{XY}. \overrightarrow{XY}}$.

Dokážte.

1. Pre ľubovoľné tri body $\small X,Y, Z ∈ \mathbb E_n$ platí
   $\small |XY | + |Y Z| = |XZ| \Leftrightarrow Y ∈ XZ$
   (Poznamenajme, že zápis $\small Y ∈ XZ$ znamená, že bod $\small Y$ patrí úsečke $\small XZ$, čo znamená, že existuje parameter $\small t ∈ (0; 1)$, taký, že platí $\small Y = X + t(Z − X)$.)
2. Bod $\small \in \mathbb E_n$ je stredom dvojice bodov $\small A, B \in \mathbb E_n$ práve vtedy, keď $\small|SA| = |SB| = \frac{1}{2} |AB|$.

Tvrdenie.
Nech $\alpha : a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n + a_0 = 0$ je nadrovina v $\small \mathbb E_n$. Označme vektor $\vec n = (a_1, a_2, \dots, a_n)$. Potom:

1. Vektor $\small \vec n$ je nenulový.
2. Vektor $\small \vec n$ je kolmý na každý vektor zo zamerania $\small V_\alpha$.
3. Každý vektor, ktorý je kolmý na $\small V_\alpha$, je násobkom vektora $\small \vec n$.

Definícia (uhol dvoch euklidovských podpriestorov).

1. $\small \varphi$ nazývame uhol priamok $\small a, b$, ak:
   $\small \cos\varphi = \frac{|\vec a \cdot \vec b|}{\|\vec a\| \|\vec b\|},$ kde $\small V_a = [\vec a]$, $\small V_b = [\vec b]$.
2. Uhol priamky $\small p$ a podpriestoru $\small \mathbb E'_k$:
   $\small \angle(p, \mathbb E'_k) := \begin{cases} \frac{\pi}{2}, & \text{ak } p \perp \mathbb E'_k \\ \angle( \vec p, \vec p^*), & \text{ak } p \not\perp \mathbb E'_k \end{cases}$
   kde $\small \vec p^*$ je ortogonálny priemet smerového vektora $\small \vec p$ priamky $\small p$ do podpriestoru $\small V'_k$.
3. Uhol podpriestoru $\small \mathbb E'_k$ a nadroviny $\small \mathbb E''_{n-1}$:
   $\small \angle(\mathbb E'_{k} , \mathbb E''_{n-1}):=$ $\small \angle({\mathbb E'_k}^\perp,{\mathbb E''_{n-1}}^\perp)$

Cvičenie. Zdôvodnite:

1. Ak $\small X[x_1, x_2, . . . , x_n], Y[y_1, y_2, . . . , y_n]$ sú súradnice bodov v karteziánskej súradnicovej sústave, tak pre vzdialenosť bodov $\small X,Y$ platí
   $\small |XY | = \sqrt{(y_1- x_1)^2 + (y_2-x_2)^2 + \dots+ (y_n - x_n)^2} .$.
2. Bod $\small S ∈ \mathbb E_n$ je stredom dvojice bodov $\small A, B ∈ \mathbb E_n$ práve vtedy, ked’ $\small |SA| = |SB| = \frac{1}{2} |AB|$.
3. Vypočítajte veľkosť vektora $\small \vec c=3\vec a+2\vec b$ , ak $\small ||\vec a||=3,||\vec b||=4,|\angle (\vec a, \vec b)||= \frac{2}{3} \pi$.