Afinná geometria
Afinný n-rozmerný priestor
Veta o súradniciach
V predchádzajúcej kapitole sme uviedli:
Súradnice bodu
afinného priestoru
vzhľadom na danú afinnú sústavu súradníc sú súradnice jeho polohového
vektora
vzhľadom na bázu súradnicových vektorov. Teda platí
.
Súradnice bodu
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02689da80f537916cba117e217c96a92.png)
![\small \mathcal A \small \mathcal A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6c29b72f6eb742ea4388a467182d27e9.png)
![\small \vec{O X} \small \vec{O X}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c3726cbd629a32d14c040b1e60efa2e9.png)
![\small \vec{O X}=O+x_1\pmb {e_1}+\cdot \cdot \cdot +x_n\pmb {e_n} \small \vec{O X}=O+x_1\pmb {e_1}+\cdot \cdot \cdot +x_n\pmb {e_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a0e006028d802da875a59f94821ce315.png)
Po zavedení súradnej sústavy môžeme nielen vektory ale aj body "sčitovať". Pravidlá, ktoré musíme pritom dodržiavať stanovuje tzv. základná
veta o súradniciach, ktorú poznáme z lineárnej algebry.
Dôkaz.
- Zrejme z vlastnosti (AP1) afinného priestoru vyplýva, že
a pre začiatok súradnej sústavy
bude platiť
tj.
odkiaľ s využitím "Tvrdenie (operácie s bodmi), odseky b), e)" dostaneme
po úprave
.
Z definície sčítania (rozdielu) vektorov v bázedostaneme
- Z vlastnosti (AP2') afinného priestoru vyplýva, že
existuje práve jeden bod
taký, že
. Pre polohové vektory platí
.
Z vlastnosti sčítania vektorov dostaneme.
Po úprave.
Zmena repéru
Pri závádzaní lineárnej súradnicovej sústavy sa v definícii nekládla požiadavka ortonormálnosti na repér
afinného priestoru
. To znamená, že súradnice
nejakého bodu
môžeme vyjadriť aj vzhľadom na ľubovoľný iný repér. Ako určiť súradnice bodu pri zmene repéru popisuje nasledujúci príklad.
Pri závádzaní lineárnej súradnicovej sústavy sa v definícii nekládla požiadavka ortonormálnosti na repér
![\small \left\langle O;\pmb {e_1},\pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle \small \left\langle O;\pmb {e_1},\pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/058ebbcd8479c451b3ba49bb1f9abb7e.png)
![\small \mathcal {A} \small \mathcal {A}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/92971639b8b7c3eb5ef6a6c024956f00.png)
![\small Q \in \mathcal {A} \small Q \in \mathcal {A}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dd5cbbfa1b1648ba9cd2affd52bdef83.png)
Príklad.
Riešenie.
- Zrejme
.
Toto sú súradnice boduvzhľadom k ortonormálnemu repéru - kanonické súradnice. Je dôležité dodržať poradie prvkov repéru
. Urobte geometrickú interpretáciu.
- Určiť súradnice vzhľadom k repéru
znamená bod
vyjadriť ako lineárnu kombináciu prvkov repéru
. Opäť treba dať pozor na poradie prvkov bázy. Musíme nájsť
, pre ktoré platí:
resp.
.
Úlohu môžeme riešiť ako sústavu rovníc (vyriešte úlohu týmto spôsobom).
Poslednú rovnosť môžeme vyjadriť v maticovom tvare (vektory repéru zapisujeme do stĺpcov!):
Riešením je bod
.
Riešenie.
- Algebraické riešenie: Dosaďte do výrazu
hodnoty za
a dostanete súradnice
.
- Grafické riešenie: Aktivujte si repér
v GeoGebre Tu. Do vstupného poľa postupne zadajte
,
,
a
. Porovnajte výsledok.