Polohové stereometrické úlohy - prieniky

Metóda stredovej kolineácie.

Túto metódu používame pri rezoch ihlanov a kužeľov. Základné vlastnosti stredovej kolineácie sú: samodružnosť bodov na osi kolineácie a odpovedajúce si priamky sa pretínajú na osi. Viac o stredovej kolineácii si pozrite v Tu.

Veta.
Medzi rezovou rovinou a rovinou podstavy telesa s vlastným hlavným vrcholom platí vzťah perspektívnej kolineácie. Stredom kolineácie je hlavný vrchol telesa a osou kolineácie je priesečnica rezovej roviny a roviny podstavy.

Ak rezová rovina je rovnobežná s rovinou podstavy telesa, osou kolineácie medzi rezovou rovinou a rovinou podstavy je potom ideálna priamka. Medzi rezovou rovinou a rovinou podstavy telesa platí vzťah homotétie (rovnoľahlosti) - ako špeciálny prípad perspektívnej kolineácie.

Príklad.
Zostrojte rez ihlana $ABCDV$ rovinou $ρ = \small KLM$, ak bod $\small K ∈ DV$ a body $\small L, M$ sú bodmi podstavy $\small ABCD$.

Riešenie.

1. Body $\small L, M$ ležia v podstave $\small ABCD$, preto priamku $\small LM$ môžeme považovať za os stredovej kolineácie.
2. Bod $\small K$ leží na hrane $\small DV$, bod $\small K$ sa zobrazí v stredovej kolineácii do bodu $\small D$, preto ich môžeme považovať za odpovedjúcu dvojicu bodov v kolineácii $\small  \mathscr{K}(V, o=\overleftrightarrow{KL}, K \rightarrow K'=D)$.
3.  

Poznámky.

• Bod $1$ je priesečník $\small DA$ s osou kolineácie a je samodružný bod. Bod $2$ je bodom rezu, ktorý sa zobrazí do bodu $\small A$.
• Priamka $\small DB$ má samodružný bod $3$. Bod rezu $4$, ktorý sa zobrazí do bodu $\small B$. Podobne využijeme bod $5$.

Presnosť riešenia.

• Odpovedajúce priamky sa musia pretínať v samodružnom bode na osi kolineácie.
• Rezom je mnohouholník. Vo väčšine prípadoch protiľahlé strany nie sú rovnobežné. Pohybujte s bodmi $\small K, L, M$.