Vytlačiť jednu kapitoluVytlačiť jednu kapitolu

Polohové stereometrické úlohy - prieniky

Metóda osovej afinity.
Osová afinita (v euklidovskom priestore) medzi dvoma rovinami je jednoznačne určená ak poznáme jej os p a dvojicu odpovedajúcich si bodov  \small A,A' v osovej afinite, prípadne ak poznáme tri dvojice odpovedajúcich si bodov.
Pri rezoch rovnobežnostena metóde využívame základnú vlastnosť osovej afinity.
Tvrdenie.
Dve odpovedajúce si priamky v osovej afinite sa pretínajú v samodružnom bode ležiacom na osi afinity alebo sú rovnobežné.
Nech dva body rezu \small K, L ležia v podstave \small ABCD a bod rezu \small M leží na hrane \small AE. Obrázok vľavo. Osová afinita medzi rovinou rezu \rho a podstavou \small ABCD je daná osou \small KL a smerom \small MM_1, M_1=A.
Priamka \small AB je obrazom priamky rezu prechádzajúcou bodom \small M, ktorá pretína os afinity v samodružnom bode 1. Bodom rezu je teda bod 2 ležiaci na spojnici \small M1, pričom \small B2 ∥ M_1M.
Príklad.
Zostrojte rez hranola \small ABCDEFGH rovinou ρ = \small KLM , ak bod \small K leží na priamke \small CB , bod \small L na priamke \small DC a \small M ∈ AE .
Riešenie.
  • Body K,L ležia v podstave ABCD , preto priamku KL môžeme považovať za os afinity.
  • Bod M leží na hrane AE , preto bod A môžeme považovať za jeho obraz v osovej afinite medzi rovinou rezu a podstavou ABCD.
  • Os afinity je priamka \small KL, smer afinity (odpovedajúca dvojica bodov) \small MM_1, kde \small M_1=A.
  • Priesečník 1 s priamkou AB je bodom rezu. Priamka M1 je priamkou rezu, jej priesečník 2 s BF je bodom rezu.
  • Podobne pomocou osovej afinity zostrojíme bod rezu 3 . Bod 4 leží na rovnobežke s M1 .
Komentár k riešeniu.
  • Rezom je mnohouholník, ktorý má niektoré strany navzájom rovnobežné. Zmenou polohy bodu \small K môže vzniknúť trojuholník až šesťuholník.
  • V tomto applete je možné nastaviť polohu bodov (\small K,L \) tak, aby rezom bol trojuholník, rovnobežník, lichobežník aj päťuholník.
\( .\)