Vytlačiť jednu kapitoluVytlačiť jednu kapitolu

Euklidovský priestor

Seminárne zadania

Dokážte tvrdenia
  1. a \parallel b \; \wedge \; b \parallel c \;\;\Rightarrow a \parallel c
    dôkaz Tu
  2. a \parallel \alpha \; \wedge \; \alpha \parallel \beta \Rightarrow a \parallel \beta
    dôkaz si pripraví: študent/ka
  3. \alpha \parallel \beta \Rightarrow \forall a \in \alpha : a \parallel \beta
    dôkaz si pripraví: študent/ka
  4. \alpha \parallel \beta \;\wedge\; \beta \parallel \gamma \Rightarrow \alpha \parallel \gamma
    dôkaz: DU
Dôkazy týchto tvrdení nájdete v práci Klenková: Stereometria. Na seminári ich budete prezentovať.
Cvičenie
  1. Dané sú navzájom rôznobežné roviny \alpha , \beta a priamka m , pre ktorú platí: α ∥ m , β ∥ m . Aká je vzájomná poloha priesečnice rovín α, β a priamky m? Svoje tvrdenie dokážte a vytvorte odpovedajúci applet. (Použite základ kocku).
  2. Daný je štvorsten \small ABCD . Zostrojte priečku priamok \small a= AB, b=CD rovnobežnú s priamkou \small l= MN , ak \small (DAM )=-5, \small( BCN)=-2 . Zadanie Tu.
  3. Daný je štvorboký hranol \small ABCD\!-\!A'B'C'D' . Zostrojte priečku priamok \small a= AA', b= CC' rovnobežnú s priamkou \small l= PQ , ak \small (A'AP)=3, \small(B C'Q)=-4.
  4. Daný je hranol s trojuholníkovou podstavou \small ABC\!-\!A'B'C' . Zostrojte priečku priamok \small a= BC, b=B'C' rovnobežnú s priamkou \small l= RS , ak \small (CBR)=2, \small(A'B'S)=-1.
  5. Daná je pravouhlá kosodĺžniková pyramída \small S-ABCD (vrchol S, základňa je rovnobežník (nie obdĺžnik) ABCD). Zostrojte priečku priamok \small a= SD, b= AB rovnobežnú s priamkou \small l= TU , ak \small (DS T)=-6, \small(CA U)=4.
  6. Zostrojte pravidelný N-boký hranol \small ABC... , ktorého steny sú pravouholníky. Zadanie otvoríte Tu.
  7. Určte vzájomnú polohu priamky \small a s pravidelným šesťbokým hranolom \small H* = ABCDEA'... , ktorého výška je zhodná s hlavnou uhlopriečkou podstavy. V prípade existencie prieniku zostrojte úsečku zhodnú s prienikom (pri zvolenej dĺžke podstavnej hrany telesa). Hranol Tu
    [ \small a=\overleftrightarrow{MN}, ( SCM ) = 2 (\small S je stred podstavy \small AB...F ), \small ( E'F'N) = 2 ]
  8. Daná je kocka \small ABCDEFGH , kde \small A(0,0,0);B(3,0,0) . Ďalej sú dané stredy hrán hornej podstavy \small S_{EF},S_{FG},S_{GH},S_{EH} , stred hrany \small CG: S_{CG} a body \small P_{1/3}: (EHP_{1/3})=-2;  Q_{1/3}: (HDQ_{1/3})=-2.
    a) Určte vzájomnú polohu
      • \small \overleftrightarrow{ CS_{FG}}\text{ a }\overleftrightarrow{ P_{1/3}Q_{1/3}}
      • \small \overleftrightarrow{ S_{EF}S_{FG}}\text{ a }\overleftrightarrow{ CQ_{1/3}}
      • \small \overleftrightarrow{ S_{FG}B}\text{ a }\overleftrightarrow{ECA}
      • \small \overleftrightarrow{ S_{EH}S_{FG}}\text{ a }\overleftrightarrow{ HBA}
      • \small \overleftrightarrow{ EAG}\text{ a }\overleftrightarrow{ S_{EH}S_{FG}B}
      • \small \overleftrightarrow{ S_{GH}S_{FG}}\text{ a }\overleftrightarrow{ECA}
    b) Pomocou vrcholov zapíšte 3 rôzne roviny kolmé na \small \overleftrightarrow{BEC}. Zadanie Tu.
  9. Konštrukčne i výpočtom určite vzdialenosť stredu steny \small BCC'B' kocky \small ABCDA'B'C'D' od roviny \small ACC'A'. Kocku si otvorte vo VRP si otvoríte Tu. Kocku v 3D si otvorte Tu.
  10. Daný je kváder \small ABCDA'B'C'D'. Zostrojte rez kvádra s rovinou \alpha=\small \overleftrightarrow{KLM} a útvar zhodný s rezovým n -uholníkom, ak: \small \mu(AA'K)=\mu( ABL)=-3; \; \mu(CC'M)=-1; \;|AB|= 4; \; |BC|=3; \; |AA'|=5 . Kváder vo VRP Tu. Urobte riešenie aj v 3D, najskôr si taký kváder vytvorte.  
  11. Daný je rovnobežnosten \small ABCDA'B'C'D'. Zostrojte priesečník priamky a= \overleftrightarrow{A'C} s rovinou \alpha=\small \overleftrightarrow{AB'D'}. Určte deliaci pomer \small \mu( A'CR); \; R =a \cap \alpha. Zadanie - rovnobežnosten Tu.
  12. Daný je pravidelný šesťboký ihlan \small ABCDEFV. Určte uhol priamok a, b , ak b =\small \overleftrightarrow{CD}, a = \small \overleftrightarrow{PS} pre \small \mu (BEP) = -\frac{1}{3}, \mu (VES) = -1 . Zadanie - šesťboký ihlan Tu
  13. Určite vzájomnú polohu priamky a s pravidelným šesťbokým hranolom \small H=ABCDEFA'B'... F', ktorého výška je zhodná s hlavnou uhlopriečkou podstavy. V prípade existencie prieniku (úsečka \small XY zostrojte úsečku zhodnú s prienikom (pri zvolenej dĺžke podstavnej hrany telesa). a=\small \overleftrightarrow{MN}; \; \mu(SCM)=2; \;\mu(ABS)=-1; \;\mu(E'F'N)=2 .
  14. DU. Konštrukčne i výpočtom určite vzdialenosť vrcholu \small C kocky od roviny \small BDC'. Dĺžku hrany kocky si zvoľte ľubovoľne.
  15. DU. Daný je kváder \small ABCDA'B'C'D'. Zostrojte rez kvádra s rovinou \alpha=\small \overleftrightarrow{KLM} a útvar zhodný s rezovým n -uholníkom, ak: \small \mu(AA'K)=\mu( ABL)=-3; \; \mu(CC'M)=-1; \;|AB|= 4; \; |BC|=3; \; |AA'|=5 . Kváder Tu.
  16. Klenková - Stereometria, Cvičenia 1 až 15, Str. 38 až 40.; príklady 4.5 až 4.8, Str. 61 až 63; Cvičenia na str. 64
\( .\)