Geometrické zobrazenia2

Definícia (Stredová kolineácia medzi dvoma rovinami).
Nech sú dané dve rôzne roviny $\alpha, \alpha'$ a bod $\small S$, ktorý neleží ani v jednej z nich.

1. Stredová kolineácia je bijektívne zobrazenie dvoch rovín, pri ktorom každému bodu prvej roviny odpovedá jeho priemet zo stredu $\small S$ do roviny druhej. Používa sa aj termín perspektívna kolineácia. 
2. Stred premietania $\small S$ sa nazýva stred kolineácie. Priamku $o$, priesečnicu rovín $\alpha, \alpha'$, nazývame osou stredovej kolineácie.

Obr. Stredová kolineácia medzi dvoma rovinami

Otvorte si dynamický obrázok Tu.

Vlastnosti.

1. Vlastnému bodu môže odpovedať nevlastný bod a naopak. Ak bod $\small U \in \alpha$ leží v rovine rovnobežnej s rovinou $\alpha'$, tak priamka $\small \overleftrightarrow{SU}$ sa s rovinou $\alpha'$ pretína v nevlastnom bode. Analogicky pre bod $\small V_ \infty$.

1. Priamky, ktoré si odpovedajú v perspektívnej kolineácii, sa pretínajú na osi kolineácie alebo sú s ňou rovnobežné (majú spoločný nevlastný bod).
2. Body osi kolineácie sú samodružné body. Perspektívna kolineácia zachováva incidenciu.
3. Perspektívna kolineácia nezachováva deliaci pomer, ale zachováva dvojpomer. Stred úsečky sa vo všeobecnosti nezobrazuje do stredu úsečky.

Pre situáciu, keď obrazom vlastného bodu je nevlastný bod a naopak, používame terminológiu:

1. Vlastný bod $\small U$, ktorý sa v kolineácii zobrazí do nevlastného $\small U'_ \infty$ nazývame úbežník (niekedy úbežník 1. druhu).
2. Vlastný bod $\small V'$, ktorý je v kolineácii obrazom nevlastného bodu $\small V_ \infty$ nazývame úbežník (niekedy úbežník 2. druhu).
3. Priamky, ktoré sú obrazom alebo vzorom nevlastnej priamky sa nazývajú úbežnice . Úbežnice(priamky) obsahujú všetky úbežníky daného druhu a sú rovnobežné s osou afinity.

Špeciálny typ perspektívnej kolineácie ak stred $\small S$ je nevlastný bod, tak perspektívna kolineácia je osová afinita.
Perspektívnu kolineáciu si môžeme zjednodušene predstaviť ako vzťah medzi rezom ihlana (resp. kužeľa) rovinou a podstavou.

Otvorte si krokované riešenie Tu.

Poznámka.
Stredovú kolineáciu medzi dvoma rovinami $\alpha, \alpha'$ v euklidovskom priestore môžeme previesť na stredovú kolineáciu v rovine.

1. Zvolíme si rovinu $\pi$, do ktorej budeme premietať a smer premietania určený vektorom "Priemet", pričom smer premietania volíme tak, aby nebol rovnobežný so žiadnou z rovín $\alpha, \alpha'$.
2. Os kolineácie $o$, stred kolineácie $\small S$ a zodpovedajúce si body $\small A,A'$ premietneme pomocou smeru "Priemet" do roviny $\pi$.
3. Keďže rovnobežné premietanie (smer "Priemet") zachováva rovnobežnosť, tak pre body $\small A*, A'*$ platí opäť vzťah stredovej kolineácie.
4. Stred kolineácie $\small S*$ je rovnobežným priemetom stredu $\small S$, podobne body $\small A*, A'*$ sú priemety bodov $\small A,A'$.
5. Dvojicu odpovedajúcich si bodov $\small A,A'$ nazývame kolineárne združené body.
6. Vo všeobecnosti kolineácia je jednoznačne určená stredom $\small S$, osou $o$ a dvojicou odpovedajúcich si bodov $\small A → A'$. V takom prípade budeme pre kolineáciu používať označenie $\small \mathcal{K}(S,o,A →A')$.

Cvičenie. V kolineácii $\small \mathcal{K}(S,o,A →A')$ zostrojte úbežnicu 1. druhu.

Pomoc pri hľadaní úbežnice.
Zvolíme si ľubovoľnú priamku $p$ prechádzajúcu bodom $\small A$, ktorá neprechádza stredom  $\small S$ a nie je rovnobežná s osou $o$, a nájdeme jej obraz  $p'$ . Zvolíme bod $\small A \in p$, ktorý sa zobrazí na nevlastný bod $\small U´_∞$. $\small U´_∞$ je určený smerom priamky $p'$. Pre body $\small U,U´_∞$ musí platiť, že leží na priamke prechádzajúcej stredom kolineácie $\small S$. Priamka $q$, na ktorej ležia body $\small U,U´_∞$ , preto prechádza stredom kolineácie $\small S$. Bod  $\small U´_∞$ leží v smere priamky $p'$, preto je priamka $q$ rovnobežná s priamkou $p'$. Bod $\small U$  leží na spojnici $\small SU´_∞$  (priamke $q$) a zároveň na priamke $p$. (\small U = p ∩ q\). Teraz poznáme jeden úbežník  $\small U$. Z predchádzajúceho vieme, že úbežnice a os kolineácie sú vzájomne rovnobežné. Úbežnica $u$ je preto rovnobežná s osou kolineácie $o$ a prechádza úbežníkom $\small U$.

Cvičenie.

1. V kolineácii $\small \mathcal{K}(S,o,A →A')$ zostrojte(určte) obe úbežnice. Riešenie Tu.
2. V kolineácii $\small \mathscr{K}(S, o, u)$ (použite applet pre kolineáciu Tu) zostrojte obraz bodu $\small A$a priamky $\small a:a \in A$. Riešenie Tu.
3. V kolineácii $\small \mathscr{K}(S, o, u)$ zostrojte obraz trojuholníka $\small ABC$. Strany $\small AB, AC$ pretínajú úbežnicu $u$.
   
   Zadanie Tu. Riešenie Tu. .

Veta.
Obrazom kružnice v stredovej kolineácii je regulárna kužeľosečka (elipsa, parabola alebo hyperbola).

Regulárne kužeľosečky môžeme klasifikovať podľa počtu nevlastných bodov. Elipsa má všetky body vlastné. Parabola má jeden nevlastný bod a hyperbola má dva nevlastné body.
Z predchádzajúceho textu vieme, že obrazom úbežníku I. druhu je nevlastný bod. Z toho vyplýva, že ak kružnica s úbežnicou

1. nemá žiadny spoločný bod, potom je obrazom kružnice elipsa,
2. má práve jeden spoločný bod, potom je obrazom kružnice parabola,
3. má dva rôzne priesečníky, potom je obrazom kružnice hyperbola.

Pozrite si riešené príklady Tu.