Interaktívna geometria - planimetria (pracovná verzia)
Zobrazenia
Kruhová inverzia
Möbiova rovina je euklidovská rovina doplnená o jeden nevlastný bod
, ktorý budeme nazývať Möbiov bod.
V takto doplnenej rovine môžeme definovať zobrazenie, ktoré sa nazýva kruhová inverzia.
![M^ \infty M^ \infty](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2bdf6d952d409ca49d187a90b8d73fe5.png)
V takto doplnenej rovine môžeme definovať zobrazenie, ktoré sa nazýva kruhová inverzia.
Definícia.
V Möbiovej rovine je daná kružnica
. Kruhová inverzia vzhľadom ku kružnici
je zobrazenie, ktorého obrazom
V Möbiovej rovine je daná kružnica
![\small \omega (S, r) \small \omega (S, r)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1cb5bf140c1da713e66cec8c4d121bc2.png)
![\omega \omega](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ca53425fa0b40103134c7ff7c605a741.png)
Poznamenajme, že
, ležiaci mimo kružnice
:
Z bodu
zostrojíme dotyčnicu kružnice
, bod dotyku označme
. Z bodu
zostrojíme kolmicu na priamku
, päta tejto kolmice je hľadaný obraz
.
Konštrukciu je možné použiť aj pre bod ležiaceho vo vnútri kružnice
.
Kruhová inverzia je nelineárne zobrazenie, priamka až na špeciálne prípady sa nezobrazuje na priamku (priamky, ktoré neprechádzajú stredom inverzie, sa zobrazujú na kružnice).
- ak bod
je obrazom bodu
, potom je aj bod
obrazom bodu
, dvojicu odpovedajúcich bodov nazývame aj navzájom inverzné body - kruhová inverzia je involútorné zobrazenie;
- body na kružnici
sú samodružné;
- bod ležiaci vo vnútri kružnice
sa zobrazí na vonkajší bod a naopak.
Konštrukcia obrazu
![\small X' \small X'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/693788071d340ff105eb1b32d653e6db.png)
![\small X \neq S \small X \neq S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/276dbd5178f6f0ed0624503aab6b7a27.png)
![\small X \neq M^ \infty \small X \neq M^ \infty](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69b72eb96a8197106c3ba1e19aa11253.png)
![\small X \notin \omega \small X \notin \omega](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0e9138938f114bd3e908be4064505149.png)
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c1e7fb1bb198880c03d5c789dede8fd8.png)
![\omega \omega](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ca53425fa0b40103134c7ff7c605a741.png)
Z bodu
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c1e7fb1bb198880c03d5c789dede8fd8.png)
![\omega \omega](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0d4533655ed165db716d9a8e85fcd10a.png)
![\small T_i \small T_i](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ff594a9cb2cff6f881c1aa0d5e6c3e5c.png)
![\small T \small T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d635c1b89845af9a73b702f5942978ec.png)
![\small XS \small XS](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a6e217e297074a51d60edc8e79f20f08.png)
![\small X' \small X'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/693788071d340ff105eb1b32d653e6db.png)
![\omega \omega](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ca53425fa0b40103134c7ff7c605a741.png)
Kruhová inverzia je nelineárne zobrazenie, priamka až na špeciálne prípady sa nezobrazuje na priamku (priamky, ktoré neprechádzajú stredom inverzie, sa zobrazujú na kružnice).
Veta (Konformné zobrazenie).
Kruhová inverzia je konformné zobrazenie, t.j zachováva veľkosť uhla
. Pozrite si obrázok "Konformné zobrazenie".
Kruhová inverzia je konformné zobrazenie, t.j zachováva veľkosť uhla
![\small \angle SAB \simeq \angle SB'A' \small \angle SAB \simeq \angle SB'A'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1d75ab7023bf27f344d9b4c45c251898.png)
Dôkaz.
Z definície kruhovej inverzie vyplýva
Obr. Konformné zobrazenie
![\small |SA | \cdot |SA'| = |SB | \cdot |SB'| = r^2 \Rightarrow \frac{|SA' |}{|SB' |}= \frac{|SB| }{|SA|} \small |SA | \cdot |SA'| = |SB | \cdot |SB'| = r^2 \Rightarrow \frac{|SA' |}{|SB' |}= \frac{|SB| }{|SA|}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/54ad63c9fc873bf44e4f8a57a01bb52d.png)
Teda trojuholníky
![\small ABS,BAS \small ABS,BAS](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b04d13af90fd94b7d13beab7187b74f.png)
![sus sus](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/de6740168a15b72e592701ca5c4cc24b.png)
Tvrdenie (Obraz priamky a kružnice).
Body priamky prechádzajúcej stredom inverzie
sa zobrazujú opäť na túto priamku.
Body priamky prechádzajúcej stredom inverzie
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ea8bf0d4330da4baf3915bc2c307eac6.png)
Dôkaz
Ide vlastne o špeciálny prípad vety o konformnom zobrazení, keď bod
leží na kolmici k polpriamke
. Zrejme platí
,
lebo trojuholníky
sú podobné. Uhol pri vrchole
je pravý, preto bod
je zrejme bodom Thálesovej kružnice.
Ide vlastne o špeciálny prípad vety o konformnom zobrazení, keď bod
![B B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/73bc9851270421c3a7e7dd37621d0dda.png)
![\small \overrightarrow {SA} \small \overrightarrow {SA}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a347c3bda9f0bf921c9040cc14fce46c.png)
![\small |SP | \cdot |SP'| = |SX | \cdot |SX'| = r^2 \Rightarrow \frac{|SP' |}{|SX' |}= \frac{|SX| }{|SP|} \small |SP | \cdot |SP'| = |SX | \cdot |SX'| = r^2 \Rightarrow \frac{|SP' |}{|SX' |}= \frac{|SX| }{|SP|}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/109d06b018e76952bcc506688cf6be1e.png)
lebo trojuholníky
![\small SAB,SB'A' \small SAB,SB'A'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e716f7b24052205c81d01501602a73df.png)
![\small X' \small X'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/75882bf19d830d31f3c60b25834c3e16.png)
![\small B' \small B'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3dbfeb99c9c97e8b115e2ee9e68a6ed6.png)
Dôsledky.
- Obrazom priamky
, ktorá neprechádza stredom inverzie je kružnica
prechádzajúca stredom
.
- Obrazom kružnice prechádzajúcej stredom inverzie je priamka, ktorá neprechádza stredom inverzie.
- Samodružnými bodmi sú body určujúcej kružnice
.
- Samodružnými priamkami sú priamky prechádzajúce stredom inverzie.
- Samodružné kružnice sú tie, ktoré ortogonálne pretínajú určujúcu kružnicu. Dôkaz si môžete pozrieť v práci [JAN].
Dôkazy týchto dôsledkov sa opierajú o involútornosť kruhovej inverzie.
Tvrdenie (Obraz kružnice neprechádzajúcej stredom
).
Obrazom kružnice, ktorá neprechádza stredom inverzie
je kružnica.
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ea8bf0d4330da4baf3915bc2c307eac6.png)
Obrazom kružnice, ktorá neprechádza stredom inverzie
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ea8bf0d4330da4baf3915bc2c307eac6.png)
Poznámka.
Z obrázku "Obraz kružnice" je zrejmá jedna typická ale často opomínaná vlastnosť kruhovej inverzie:
Obrazom stredu kružnice
nie je stred kružnice
.
Z obrázku "Obraz kružnice" je zrejmá jedna typická ale často opomínaná vlastnosť kruhovej inverzie:
Obrazom stredu kružnice
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![k' k'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4d1f631b7689221d151dfac7acde69c6.png)
Apolloniova úloha.
Zostrojte kružnicu dotýkajúcu sa troch geometrických útvarov: bodu -
, priamky -
, kružnice -
.
Zostrojte kružnicu dotýkajúcu sa troch geometrických útvarov: bodu -
![\small B \small B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/873f96656e81b6bd4fdbcc1ac8ca8d9a.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
- Existuje celkove desať možných kombinácií. Napr.
znamená zostrojiť kružnicu, ktorá prechádza bodom a dotýka sa dvoch priamok. Dotyk s bodom znamená incidenciu s ním.
- Najjednoduchšie prípady nastanú, keď sú dané tri body alebo tri priamky; tieto prípady vyriešil Euklides vo svojich Základoch. Apolloniove úlohy patria dodnes k najpríťažlivejším úlohám syntetickej geometrie.
Historické poznámky.
- O dotyku kružníc údajne písal už Archimedes. Jeho spis sa však nezachoval. Taktiež sa nezachoval dvojzväzkový pôvodný spis Apollonia z Pergy (262?-190? pred n. l.) „O dotykoch".
- Zmienil sa o ňom Pappos okolo roku 320, podľa ktorého Apollonios vyriešil všetky úlohy s výnimkou prípadu troch kružníc.
- Úlohu s tromi kružnicami riešil ako prvý F. Viete (1540-1603) v spise „Apollonius Gallus" (Paríž, r. 1600). V riešení použil stredy rovnoľahlosti troch kružníc.
- Vo všeobecnom prípade je osem výsledkov. Ak sa dané tri kružnice navzájom dotýkajú, riešenia sú dve (tzv. Soddyho kružnice).
Metódy riešenia Apolloniovej úlohy