Interaktívna geometria - planimetria
Neeuklidovská geometria
Poincare disk
Základné "hyperbolické" konštrukcie v Poincarè Disku
, ktoré sú zovšeobecnením euklidovských konštrukcií, sú prezentované formou riešených úloh. Pri riešení úloh z z neeuklidovskej geometrie je vhodné, aby ste si najskôr stiahli applet "Poincaré Disk" vytvorený v prostredí GeoGebra. Pomocou tohto appletu vieme zostrojiť hyperbolickú úsečku a priamku; kružnicu určenú stredom a bodom resp. polomerom; vieme určiť vzdialenosť dvoch bodov.
![\omega = \lbrace{x^2+y^2< 0; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace \omega = \lbrace{x^2+y^2< 0; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/edb14be9d9d2288362886a80eb777e85.png)
Riešené úlohy z neeuklidovskej geometrie.
- Zostrojte rovnostranný trojuholník
pomocou hyperbolických kružníc
(pozrite si Euklidovo tvrdenie T/I).
Riešenie Tu. - Zostrojte hyperbolickú priamku
, ktorá je osou úsečky
, kde
.
Návod:- Využitím Euklidovho tvrdenia T/I zostrojte hyperbolické rovnostranné trojuholník
, kde
je súmerný bod podľa priamky
.
- V trojuholníku
zostrojte os prechádzajúcu vrcholmi
.
- Využite Euklidove tvrdenia T/IX a T/X.
- Riešenie Tu.
- Využitím Euklidovho tvrdenia T/I zostrojte hyperbolické rovnostranné trojuholník
- Zostrojte hyperbolickú kolmicu
na hyperbolickú priamku
, ktorá prechádza bodom
. Pomocou dotyčníc k hPriamkam
ukážte, že uhly pri päte kolmice sú pravé.
Návod: Využite Euklidove tvrdenia T/XI a T/XII.
- Zostrojte hyperbolickú rovnobežku k hyperbolickej priamke
, ktorá prechádza bodom
. Využite vlastnosť striedavých uhlov.
Poznámka.
Euklidove tvrdenia využívané v tejto časti platia aj v hyperbolickej geometrii, keďže sú nezávislé na piatom Euklidovom postuláte.
Euklidove tvrdenia využívané v tejto časti platia aj v hyperbolickej geometrii, keďže sú nezávislé na piatom Euklidovom postuláte.