Afinná geometria
Euklidovský priestor
Lineárna kombinácia bodov
Definícia.
Afinná (barycentrická resp. lineárna) kombinácia bodov. Nech
, tak
súčtom (afinnou kombináciou bodov)
rozumieme bod
(AK)
,
pričom pre
musí platiť
.
Afinná (barycentrická resp. lineárna) kombinácia bodov. Nech
![\small P, P_1,P_2,...,P_m \in \mathbb{E}_n \small P, P_1,P_2,...,P_m \in \mathbb{E}_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bb33089384805f1ba63660a895e60fc7.png)
![\small \alpha_1 P_1+...+ \alpha_m P_m \small \alpha_1 P_1+...+ \alpha_m P_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc617f094c40d01d6e89704ea7c014cb.png)
(AK)
![\small P + \alpha_1(P_1 − P) + · · · + \alpha_m(P_m − P) \small P + \alpha_1(P_1 − P) + · · · + \alpha_m(P_m − P)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/47186ec1b7ff3f17110cd6784da7c1bb.png)
pričom pre
![\small α_1, . . . , α_m \in \mathbb R \small α_1, . . . , α_m \in \mathbb R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5d2cf7206b19223c8d6a98baf03f5a1e.png)
![\small α_1+ . . . + α_m = 1 \small α_1+ . . . + α_m = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/afa90fbeabd26290af27405f88fd5fd1.png)
Dôkaz korektnosti definície.
Treba ukázať, že afinná kombinácia (AK) nezávisí od voľby bodu
.
Nech
a nech
je ľubovoľný bod. Upravujme afinnú kombináciu
aplikovaním tvrdenia
dostaneme
.
Čo bolo treba dokázať.
Treba ukázať, že afinná kombinácia (AK) nezávisí od voľby bodu
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7764a487bcd85484a117d388ee03beff.png)
Nech
![\small α_1+ . . . + α_m = 1 \small α_1+ . . . + α_m = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3d56213ad4fe5ddd034c778b5869f3bc.png)
![\small Q \in \mathbb{E}_n \small Q \in \mathbb{E}_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a928f984da2a8e424a9303d4b4321326.png)
![\small Q+ \alpha_1(P_1-Q) + \cdot \cdot \cdot +\alpha_m(P_m-Q) = \small Q+ \alpha_1(P_1-Q) + \cdot \cdot \cdot +\alpha_m(P_m-Q) =](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e5a55429f25c954f60fe24560f5d7b90.png)
aplikovaním tvrdenia
![\small \forall P,Q\in \mathbb{E}_n: Q=P+(Q-P) \small \forall P,Q\in \mathbb{E}_n: Q=P+(Q-P)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/27f7c076b08e3113f1ea9508765d64e5.png)
![\small =P+(Q-P) + \alpha_1(P_1-(P+(Q-P)) + \cdot \cdot \cdot +\alpha_m(P_m-(P+(Q-P)) = \small =P+(Q-P) + \alpha_1(P_1-(P+(Q-P)) + \cdot \cdot \cdot +\alpha_m(P_m-(P+(Q-P)) =](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/81b80cbea3f5f5d52576b4cf782f2f1f.png)
![\small=P + (Q-P) - \alpha_1(Q-P) + \cdot \cdot \cdot - \alpha_m(Q-P)+ \alpha_1(P_1-P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m-P) = \small=P + (Q-P) - \alpha_1(Q-P) + \cdot \cdot \cdot - \alpha_m(Q-P)+ \alpha_1(P_1-P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m-P) =](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/629aa59676a15ab076eb5f9992589f09.png)
![\small=P + (Q-P)- [(\alpha_1 + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m)(Q - P)] + [\alpha_1(P_1 - P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m - P)] = \small=P + (Q-P)- [(\alpha_1 + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m)(Q - P)] + [\alpha_1(P_1 - P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m - P)] =](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/990274bd238b1e5772ccef057aa486e9.png)
![\small = P + [(Q-P)- 1 . (Q − P)]+ [\alpha_1(P_1 - P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m - P)] = \small = P + [(Q-P)- 1 . (Q − P)]+ [\alpha_1(P_1 - P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m - P)] =](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8af6504c326498a435d4fe3426f65986.png)
![\small = P + \alpha_1(P_1 − P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m − P) \small = P + \alpha_1(P_1 − P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m − P)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4da28f1f0b7c622ff2880f772ccc1232.png)
Čo bolo treba dokázať.
Usporiadaná množina bodov
afinného priestoru
sa nazýva simplex
priestoru
, kde
Teda môžeme zapísať
.
![\small \pmb S = \left\{O, E_1, . . . , E_n \right\} \small \pmb S = \left\{O, E_1, . . . , E_n \right\}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/16c0501336b09ebc2855f4fc48f26164.png)
![\small \mathcal{A}^n \small \mathcal{A}^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b12dfc315b333e3614456b2e89bdce16.png)
![\small \mathcal{A}^n \small \mathcal{A}^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b12dfc315b333e3614456b2e89bdce16.png)
![\small \overrightarrow{OX} = x_1\pmb {e_1} + . . . + x_n\pmb {e_n}=x_1\overrightarrow{OE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{OE_n} \small \overrightarrow{OX} = x_1\pmb {e_1} + . . . + x_n\pmb {e_n}=x_1\overrightarrow{OE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{OE_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c346b4d7199621c69b7c31f271b24bbd.png)
Dôkaz.
Z vlastnosti (AP1) afinného priestoru vyplýva, že pre ľubovoľný (každý) bod
platí
(Q)
.
Vektor
vzhľadom na repér
sa dá jednoznačne vyjadriť
ako lineárna kombinácia
.
Využitím vzťahov
upravme vzťah (Q)
,
odkiaľ
,
Keďže predchádzajúci vzťah nie je závislý od bodu
, a keď položíme
. Potom dostaneme
teraz položíme
a dostaneme výsledok
za predpokladu, že
.
Z vlastnosti (AP1) afinného priestoru vyplýva, že pre ľubovoľný (každý) bod
![\small Q \in \mathcal{A}^n \small Q \in \mathcal{A}^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/75e32f702723e6c0bb06a34405d091a6.png)
(Q)
![\small \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QX} \small \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QX}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/70669bddc4e8d38560edb7efe5dd806e.png)
Vektor
![\small \overrightarrow{OX} \small \overrightarrow{OX}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1cf1d1b4d7335a8082242d514e1ae85c.png)
![\small \left\langle O, \pmb {e_1}, . . . ,\pmb {e_n} \right\rangle \small \left\langle O, \pmb {e_1}, . . . ,\pmb {e_n} \right\rangle](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f7bb05e98c464372c6dc5ec2663e2129.png)
![\small \overrightarrow{OX}= x_1\overrightarrow{OE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{OE_n} \small \overrightarrow{OX}= x_1\overrightarrow{OE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{OE_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/20d27e3559c876e8726339de00f4d8fe.png)
![\small \overrightarrow{OE_i}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_i} \small \overrightarrow{OE_i}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_i}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c704694de9f5014fffd0160daaf52308.png)
![\small \overrightarrow{OX}=x_1(\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_1})+...+ x_n(\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_n}) \small \overrightarrow{OX}=x_1(\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_1})+...+ x_n(\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_n})](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/db037839b936581c34ed13807c33f2bb.png)
odkiaľ
![\small \overrightarrow{OX}=(x_1+ . . . + x_n)\overrightarrow{OQ}+x_1\overrightarrow{QE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{QE_n} \small \overrightarrow{OX}=(x_1+ . . . + x_n)\overrightarrow{OQ}+x_1\overrightarrow{QE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{QE_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/537cb72d558004341943e8e934cabdb4.png)
Keďže predchádzajúci vzťah nie je závislý od bodu
![\small Q \small Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/20f5de86eaedafd78d12357307795b25.png)
![\small x_0=1-(x_1+ . . . + x_n) \small x_0=1-(x_1+ . . . + x_n)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7b1a19996e13a98b6c8c510726a70cc6.png)
![\small X=O+(Q-O)+x_1(E_1-Q)+ . . . + x_n(E_n-Q) \small X=O+(Q-O)+x_1(E_1-Q)+ . . . + x_n(E_n-Q)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d840ff229b98cab7906456d84d4763b7.png)
![\small X=Q-(x_1Q+ . . . + x_nQ)+(x_1E_1+ . . . + x_nE_n) \small X=Q-(x_1Q+ . . . + x_nQ)+(x_1E_1+ . . . + x_nE_n)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4ca09958e2b1cd84595c25e66a91b6f2.png)
teraz položíme
![\small Q=O \small Q=O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/301540dd21bf0765f279aabc07d366e0.png)
![\small X=x_0O+x_1E_1+ . . . + x_nE_n \small X=x_0O+x_1E_1+ . . . + x_nE_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8d026eb7986f5bcc02099bdb83a3ac62.png)
za predpokladu, že
![\small x_0+x_1+ . . . + x_n=1 \small x_0+x_1+ . . . + x_n=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8626063270028787aa849acba42d625d.png)
Pretože rovnosti v dôkaze predošlej vety nezávisia na voľbe bodu
, tak ku každému usporiadanému simplexu
a bodu
afinného priestoru
existuje jediná sústava skalárov
tak,
že platí rovnosť uvedená v tejto vete. Zrejme platí aj obrátená veta: Každá sústava skalárov
jednoznačne určuje bod
, pre ktorý platí tvrdenie vety.
![\small Q \in \mathcal{A} \small Q \in \mathcal{A}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/925bd2c807999db4d51aeb9ef4535e96.png)
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33e0051a4cc1577ae2d1d24f48f964b9.png)
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/577f3a2270ae2d5475b8149d80b9ff87.png)
![\small \mathcal{A}^n \small \mathcal{A}^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b12dfc315b333e3614456b2e89bdce16.png)
![\small {x_o, . . . , x_n} \small {x_o, . . . , x_n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bd6d4a2190e0677ea22e575250647e1a.png)
![\small {x_o, . . . , x_n}: \; \;x_0+x_1 + · · · + x_n=1 \small {x_o, . . . , x_n}: \; \;x_0+x_1 + · · · + x_n=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b6c6b5a35f2b89a480b2e4ccb105554.png)
![\small X \in \mathcal{A}^n \small X \in \mathcal{A}^n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5de7584210e1f6ba91d858e26f9e3209.png)
Z dôkazu predchádzajúcej vety vyplýva, že súčet
je rovný jednej. Preto podmienka
v definícii afinnej kombinácii bodov je dôležitá a nutná.
![\small x_0+x_1 + · · · + x_n \small x_0+x_1 + · · · + x_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9d31fa94f206458a613d29c58f5b0a20.png)
![\small α_1+ . . . + α_m = 1 \small α_1+ . . . + α_m = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6baaed8c8202a52840d90392a8374f48.png)
Cvičenie.
- Nech
sú dva rôzne body. Zistite, aký bod predstavuje lineárna kombinácia
.
- Nech
sú tri nekolineárne body. Zistite, ktorý bod predstavuje lineárna kombinácia
. Vyjadrite pomocou lineárnej kombinácie vrcholov trojuholníka
ľubovoľný vnútorný bod tohto trojuholníka.
- ♥ Vyjadrite pomocou lineárnej kombinácie nezávislých bodov
ľubovoľný bod podpriestoru
určeného týmito bodmi.
Riešenie.
- Upravujme
,
čo predstavuje stred úsečky. Zobrazte túto situáciu v GeoGebre.
- Znázornite túto situáciu v GeoGebre, otvorte si zadanie Tu. Riešenie Tu.
- Podľa vety "bod ako kombinácia simplexu" pre bod
podpriestoru
a jeho simplex
platí
(Mx).
Po jednoduchej úprave dostaneme,
čo predstavuje bod podpriestoru.
- Pre podpriestor
množina všetkých bodov
spĺňajúcich podmienku (Mx) je zrejme priamka (útvar určený dvoma nezávislými bodmi). Jej parametrické vyjadrenie má tvar
.
Po úprave dostaneme,
čo predstavuje lineárnu kombináciu bodov.
- Pre podpriestor
to bude rovina (útvar určený tromi nezávislými bodmi). Jej parametrické vyjadrenie má tvar
.
Po úprave dostaneme,
čo predstavuje lineárnu kombináciu bodov.
- Pre podpriestor