Reálne a komplexné čísla
Obor komplexných čísel
Algebraický tvar
Každé komplexné číslo
možno zapísať v tvare
, kde
sú reálne čísla a
je imaginárna jednotka, pre ktorú platí
.
![z=(a,b) z=(a,b)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dddc834692610019090a111baa8fbbd2.png)
![a+ib a+ib](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3ca6eda2c98a9fad9cc243777d6f501c.png)
![a,b a,b](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e227c72cd04fd4d7cc6242750ca79f2c.png)
![i i](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/adc981d848c16e6bfd42376fa5603738.png)
![i^2=-1 i^2=-1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/642b0555e9d7da33841c5169a536a928.png)
Operácie súčet a súčin zavedieme ako súčet a súčin algebraických dvojčlenov:
• pre súčet komplexných čísel bude platiť:
• pre súčin komplexných čísel bude platiť:
Z definície súčinu vyplýva zaujímavá vlastnosť. Ak jedno z komplexných čísel bude reálne (napr.
), tak
.
• pre súčet komplexných čísel bude platiť:
![(a+ib) \oplus (c+id)=((a+c)+i(b+d)) (a+ib) \oplus (c+id)=((a+c)+i(b+d))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c4bedb1223adb5171b776bc0f0b0ce11.png)
• pre súčin komplexných čísel bude platiť:
![(a+ib) \otimes (c+id)=((ac-bd)+i(ad+bc)) (a+ib) \otimes (c+id)=((ac-bd)+i(ad+bc))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4431c298765cf8891393d755d18d80b7.png)
Z definície súčinu vyplýva zaujímavá vlastnosť. Ak jedno z komplexných čísel bude reálne (napr.
![c=k,d=0 c=k,d=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d9ebeb7389db746ae7ddc5d1356fc710.png)
![k(a+ib)=(ka+ikb) k(a+ib)=(ka+ikb)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ae65286864f65ba1effbe2ecd3f26daf.png)