Budovanie číselných oborov

Definícia (Súčet prirodzených čísel).
Ku každým dvom prirodzeným číslam $\small m,n$ existuje prirodzené číslo $\small m+n$ nazývané súčet týchto čísel.

Súčet dvoch prirodzených čísel spĺňa nasledujúce dve - axiómy

Axióma IV

Nula $\small 0$ je neutrálny prvok vzhľadom na súčet prirodzených čísel. Symbolicky $\small \forall m \in N: m+0=m$.

Axióma V

Pre sčítanie nasledovníka a prirodzeného čísla platí: $\small \forall m,n \in N: m+n'=(m+n)'$.

Poznámky.

1. Axióma V je rekurentným matematickým vyjadrením, umožňuje sčitovať prirodzené čísla neobmedzene.
2. Všimnime si, že pri sčítaní dvoch prirodzených čísel Peano vychádzal z existencie čísla nula a existencie funkcie nasledovník.
3. Ak v axióme V položíme $\small n=0$ , tak dostaneme: $\small m+0'=(m+0)'=m'=m+1$.

Cvičenie.
Vypočítajte: $\small 3+2$.

Riešenie

1. Zrejme pre prirodzené číslo $\small 2$ platí $\small 2=1'$ .
2. Po dosadení $\small 1'$ za číslo $\small 2$ dostaneme $\small 3+2=3+1'$.
3. Aplikovaním axiómy V dostaneme $\small 3+2=3+1'=(3+1)'$.


4. Opätovným dosadením $\small 0'$ za číslo $\small 1$, dostaneme $\small 3+2=(3+0')'=[(3+0)']'=[3']'=4'=5$.