Obraz kružnice v kolineácii, kužeľosečky.
Obraz kružnice
Kružnica → hyperbola
Cvičenie.
Zostrojte obraz kružnice
v stredovej kolineácii
, ak kružnica
má s úbežnicou
dva spoločné body:
a os kolineácie pretína v dvoch bodoch
.
Riešenie
Keďže kružnica
má s úbežnicou
spoločné dva body, tak obrazom bude hyperbola.
Zostrojte obraz kružnice
![k(O,r) k(O,r)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0c1aebe00e339e8b0cb5dacaeae0aa3d.png)
![\mathscr{K}(S, o,u) \mathscr{K}(S, o,u)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/416e032d56632c2925c75b1cfe097c4a.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![u u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc2c9f94d4206d09fef01fa877f5b516.png)
![k \cap u = {U,V} k \cap u = {U,V}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2c2a2375f41fe6372f561ba7fa94e801.png)
![X_u, X_v X_u, X_v](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/621cc6b8a1042cccbb7d45ee64937bb3.png)
Riešenie
Keďže kružnica
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![u u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc2c9f94d4206d09fef01fa877f5b516.png)
- Na jej zostrojenie nám stačí, ak poznáme jej asymptoty a jej hlavné vrcholy.
- Zostrojme dotyčnice
v bodoch
ku kružnici
.
- Nájdime obrazy
. Priamky
sú asymptoty hyperboly.
- Priesečník asymptot
(ozn.
) je stredom hyperboly.
- Osy hyperboly
rozpoľujú uhly asymptot. Hlavnú os
označíme tú, pre ktorú odpovedajúca priamka
pretína kružnicu
v dvoch bodoch. Označme ich
.
- Bodom
odpovedajú body
hyperboly
, ktoré sú jej hlavné vrcholy.
Poznámka.
V našej konštrukcii sme použili na "vykreslenie" hyperboly nástroj "Množina bodov".