Afinná geometria
Afinné zobrazenie
V ďalších kapitolách sa budeme zaoberať len euklidovským priestorom
so zameraním
. Zameriame sa prevažne len na dvojrozmerný a trojrozmerný euklidovský priestor - rovinu
a priestor
. Pripomíname, že v euklidovskom priestore je definovaný skalárny súčin.
![\small \mathbb E_n \small \mathbb E_n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/135b38d4e994a3c7d1d02997bec2c8f4.png)
![\small V_n(\mathbb R) \small V_n(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/afa832f6e8f27f70c1d75f9b229b8a16.png)
![\small \mathbb E_2 \small \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6361000451a13c2ea0a255acc82f85ff.png)
![\small \mathbb E_3 \small \mathbb E_3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/79332af11d64130b1aff2e8b98147627.png)
Definícia.
Nech
sú euklidovské priestory. Zobrazenie
sa nazýva afinné zobrazenie (AZ), ak obrazom ľubovoľných troch kolineárnych bodov sú totožné body, alebo kolineárne body, pričom ich deliaci pomer sa zachováva.
Nech
![\small \mathbb E_n, \mathbb E_m \small \mathbb E_n, \mathbb E_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a8205dd0c6443a24cb7136ada4b23955.png)
![\small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m \small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b8aca7e316197648fdd5d821b98ca1e3.png)
Z definície vyplýva, že afinné zobrazenie má vlastnosť lineárneho zobrazenia.
Dôkaz (urobíme pre
Nech
je afinné zobrazenie a nech
, kde
.
Pre ľubovoľný bod
priamky
platí
a pre jeho obraz
priamky
bude
![\small n=2) \small n=2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/549f0cdaa013f463ca29fdbc7818b9ee.png)
Nech
![\small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m \small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b8aca7e316197648fdd5d821b98ca1e3.png)
![\small f(X)= \alpha_1 (A_1)+ \alpha_k (A_2) \small f(X)= \alpha_1 (A_1)+ \alpha_k (A_2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/129ac95c438a465829fa6d637b988b4d.png)
![\small \alpha_1+\alpha_2 =1 \small \alpha_1+\alpha_2 =1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/19648bdd718202e9ff9fa19a4a506d0c.png)
![\small X \small X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/02689da80f537916cba117e217c96a92.png)
![\small \overleftrightarrow{A_1A_2} \small \overleftrightarrow{A_1A_2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0bd2c5ff4ba13cfec05733da5f84d678.png)
![\small X= A_1+ t (A_1-A_2) \small X= A_1+ t (A_1-A_2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0f33f5c2f03d472c274e3551b5b8bb37.png)
a pre jeho obraz
![\small f(X) \small f(X)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fe3f89dc5e61ef756f7495f065db69c5.png)
![\small \overleftrightarrow{f(A_1)f(A_2)} \small \overleftrightarrow{f(A_1)f(A_2)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d5370a06d249a89586ad8560ee3d781a.png)
![\small f(X)= f(A_1)+ t (f(A_1)-f(A_2)) \small f(X)= f(A_1)+ t (f(A_1)-f(A_2))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e6792d43b5b7646c75c48e77510f5fd8.png)
Poznámky.
♥ Príklad Tri body.
Afinné zobrazenie
zobrazuje body
do bodov
v tomto poradí. Kam sa zobrazí bod
resp. bod
? Prevzaté z práce (Chalmoviansky, Cvičenie 28).
Afinné zobrazenie
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/77e750f5f7faac6dedf7f58ab09ca580.png)
![\small A[2, 1], B[3, 0], C[1, 4] \small A[2, 1], B[3, 0], C[1, 4]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3f4645363521a7c7ddf8f031272960e8.png)
![\small A'[1, 6], B'[1, 9], C'[3, 1] \small A'[1, 6], B'[1, 9], C'[3, 1]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/95a78b0e2732eb2134ca3344d270d527.png)
![\small P[5, 7] \small P[5, 7]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/12b32440cc18cd0bfb55063d1f30e434.png)
![\small X[x, y] \small X[x, y]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/efa1e94429b3777f84985fcc9f922d4c.png)
Riešenie.
Prvý spôsob.
Bod
vyjadrime ako lineárnu kombináciu bodov
. V takom prípade musia existovať reálne čísla
(1)
.
Zobrazenie
je lineárne, preto pre obraz
bodu
bude platiť
(2)
, pričom tiež musí platiť
Sústavu rovníc (1) a (2) vyjadríme v maticovom tvare a vyriešime.
Po vyjadrení
a po dosadení do (2) dostaneme riešenie
.
Po roznásobení
.
Porovnaním ľavej a pravej strany dostaneme riešenie
.
Prvý spôsob.
Bod
![\small P[5, 7] \small P[5, 7]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/12b32440cc18cd0bfb55063d1f30e434.png)
![\small A[2, 1], B[3, 0], C[1, 4] \small A[2, 1], B[3, 0], C[1, 4]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3f4645363521a7c7ddf8f031272960e8.png)
![\small a,b,c \small a,b,c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/268e433ddde26b4afdbca46a04dd979d.png)
(1)
![\small P=a \cdot A+b \cdot B+c \cdot C \small P=a \cdot A+b \cdot B+c \cdot C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f7e13ec245b787ff1387418433a3a924.png)
![\small a+b+c=1 \small a+b+c=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/31d06e2919883d2729414fe8bdab5a21.png)
Zobrazenie
![\small f \small f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/77e750f5f7faac6dedf7f58ab09ca580.png)
![\small P'[x',y'] \small P'[x',y']](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c4981cddaf1f66c7b9b1f9ef84c5f482.png)
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7764a487bcd85484a117d388ee03beff.png)
(2)
![\small P'=f(P)=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C' \small P'=f(P)=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3fa67443d2ed8f28a5d66f08adf610d2.png)
![\small a+b+c=1 \small a+b+c=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/31d06e2919883d2729414fe8bdab5a21.png)
Sústavu rovníc (1) a (2) vyjadríme v maticovom tvare a vyriešime.
Pri násobení matíc typu
výsledná matica je typu
, preto matica
rep.
matica
bude typu 3 x 1, pričom prvok
bude zrejme rovný 1. (Pri riešení sme použili kalkulátor
"Matrix calculator", ktorý je dostupný
Tu.
![\small r \times s ;s \times t \small r \times s ;s \times t](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/48935e1c488b65fef31b36d624f1c246.png)
![\small r \times t \small r \times t](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/371fd11bd0ce5785e0169d8035bed97e.png)
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7764a487bcd85484a117d388ee03beff.png)
![\small P' \small P'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/12f4f3df3b56ead51427ff2f4b18268f.png)
![\small a_{31}=a+b+c \small a_{31}=a+b+c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f01d6a6a15d370cc5c976414c778e73c.png)
![\small P=\mathrm M \times \mathrm A:\;\;\left(\begin{array}{ccc}5 \\ 7\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 2&3&1 \\ 1&0&4\\ 1&1&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}a \\ b\\ c \end{array}\right) \small P=\mathrm M \times \mathrm A:\;\;\left(\begin{array}{ccc}5 \\ 7\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 2&3&1 \\ 1&0&4\\ 1&1&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}a \\ b\\ c \end{array}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/38511771d048215621df8ba0081d532e.png)
![\small P'=\mathrm M' \times \mathrm A:\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&3 \\ 6&9&1\\ 1&1&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}a \\ b\\ c \end{array}\right) \small P'=\mathrm M' \times \mathrm A:\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&3 \\ 6&9&1\\ 1&1&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}a \\ b\\ c \end{array}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0aec173b106e155fd5db62f37649c8be.png)
Po vyjadrení
![\small \mathrm A=\mathrm M^{-1} \times P:
\left(\begin{matrix}
-2 & -1 & 6 \\
\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-7}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-3}{2}
\end{matrix}\right) \times
\left(\begin{matrix}5 \\7 \\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11 \\\frac{15}{2} \\\frac{9}{2}\end{matrix}\right) \small \mathrm A=\mathrm M^{-1} \times P:
\left(\begin{matrix}
-2 & -1 & 6 \\
\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-7}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-3}{2}
\end{matrix}\right) \times
\left(\begin{matrix}5 \\7 \\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11 \\\frac{15}{2} \\\frac{9}{2}\end{matrix}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ae94169ef4f4f21c0bdb07b08d2b3efb.png)
a po dosadení do (2) dostaneme riešenie
![\small P'=\mathrm M' \times M^{-1} \times \mathrm P:\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)=
\left(\begin{matrix}
1 & 1 & 3 \\
6 & 9 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
-2 & -1 & 6 \\
\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-7}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-3}{2}
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
5 \\
7 \\
1
\end{matrix}\right) \small P'=\mathrm M' \times M^{-1} \times \mathrm P:\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)=
\left(\begin{matrix}
1 & 1 & 3 \\
6 & 9 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
-2 & -1 & 6 \\
\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-7}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-3}{2}
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
5 \\
7 \\
1
\end{matrix}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fd6f577a4a50f220df129a595ce60472.png)
Po roznásobení
![\small P':\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)= \left(\begin{matrix}
1 & 1 & -2 \\
2 & -1 & 3 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
5 \\
7 \\
1
\end{matrix}\right)=
\left(\begin{matrix}10 \\6 \\1\end{matrix}\right) \small P':\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)= \left(\begin{matrix}
1 & 1 & -2 \\
2 & -1 & 3 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
5 \\
7 \\
1
\end{matrix}\right)=
\left(\begin{matrix}10 \\6 \\1\end{matrix}\right)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/57451a4e5efb9ba01d9f5ecfb5c58dc4.png)
Porovnaním ľavej a pravej strany dostaneme riešenie
![\small P'=[10,6] \small P'=[10,6]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f4056527435d985bc1a407c62a354369.png)
Dôsledok.
V našom príklade ak pre bod
zvolíme všeobecné súradnice
, tak riešenie môžeme zapísať v tvare
V našom príklade ak pre bod
![\small P \small P](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7764a487bcd85484a117d388ee03beff.png)
![\small P=[x,y] \small P=[x,y]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb5958c2025b20cde42da0c659bb6c06.png)
![\small P': \left(\begin{matrix}x' \\y' \\1\end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix}
1 & 1 & -2 \\
2 & -1 & 3 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
x \\
y \\
1
\end{matrix}\right)
=
\left(\begin{matrix}
x+y-2 \\
2x-y+3 \\
1
\end{matrix}\right). \small P': \left(\begin{matrix}x' \\y' \\1\end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix}
1 & 1 & -2 \\
2 & -1 & 3 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right)
\times
\left(\begin{matrix}
x \\
y \\
1
\end{matrix}\right)
=
\left(\begin{matrix}
x+y-2 \\
2x-y+3 \\
1
\end{matrix}\right).](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d5c720c9313b694171ba421f93bc7da3.png)
Transfomačné rovnice afinného zobrazenia.
Porovnaním riadkov matíc dostaneme sústavu - transformačné rovnice zobrazenia z príkladu "Tri body"
Dosaďte súradnice
do tejto sústavy a zistíte súradnice hľadaného bodu
.
Porovnaním riadkov matíc dostaneme sústavu - transformačné rovnice zobrazenia z príkladu "Tri body"
![x'=\;x+y-2\\y'=2x-y+3 x'=\;x+y-2\\y'=2x-y+3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/392f6ca1f195d7f648f7c579431f8189.png)
Dosaďte súradnice
![\small P[5, 7] \small P[5, 7]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c41015f970c9b7be85aba7a97ad4bc91.png)
![\small P'[10, 6] \small P'[10, 6]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/90ab42afff53c904fa7219eec0f1751b.png)
Pozrite si riešenie v GeoGebre
Tu.
Kompletné grafické riešenie pre afinné zobrazenie určené obrazmi troch bodov si stiahnete Tu.
Druhý spôsob riešenia príkladu "Tri body".
Sústavu môžeme riešiť aj dosadením súradníc dostávame
a po roznásobení dostaneme
sústavu troch rovníc o troch nezámych
Dostaneme riešenie
.
V afinnom zobrazení sa kolineárnosť zachováva, preto platí
. Po dosadení riešenia a súradníc bodov
dostaneme
Sústavu môžeme riešiť aj dosadením súradníc dostávame
![\small [5, 7]=a \cdot [2, 1]+b \cdot [3, 0]+c \cdot [1, 4] \small [5, 7]=a \cdot [2, 1]+b \cdot [3, 0]+c \cdot [1, 4]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cd188dc3a3f62ee19f485172daac0c7c.png)
![\small 2a+3b+c=5 \\ \small a+0b+4c=7 \\ \small a+b+c=1. \small 2a+3b+c=5 \\ \small a+0b+4c=7 \\ \small a+b+c=1.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bd4b2ba25f277888afefae7371d79d8e.png)
Dostaneme riešenie
![\small \left\{ a = -11, b = \frac{15}{2}, c = \frac{9}{2} \right\} \small \left\{ a = -11, b = \frac{15}{2}, c = \frac{9}{2} \right\}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2564a082ff62c343c30e81f403e17eb4.png)
V afinnom zobrazení sa kolineárnosť zachováva, preto platí
![\small P'=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C' \small P'=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/470a3bf120021d25d783d070b04c92d0.png)
![\small A'[1, 6], 'B[1, 9], C'[3, 1] \small A'[1, 6], 'B[1, 9], C'[3, 1]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eaaa2b6f3ad10f9287f3a91a1563eba9.png)
![\small {x(P')}=1 \cdot (-11) + 1 \cdot \frac{15}{2}+3 \cdot \frac{9}{2}=-11+21=10\\ \small {y(P')}=6 \cdot (-11) + 9 \cdot \frac{15}{2}+1 \cdot \frac{9}{2}=6. \small {x(P')}=1 \cdot (-11) + 1 \cdot \frac{15}{2}+3 \cdot \frac{9}{2}=-11+21=10\\ \small {y(P')}=6 \cdot (-11) + 9 \cdot \frac{15}{2}+1 \cdot \frac{9}{2}=6.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f878492a0c7a1f5ddb1a7cca3280617d.png)
Príklad.
Zobrazenie
roviny
do tej istej roviny, ktoré bodu
priradí bod
je afinné zobrazenie. Zobrazenie, ktoré trojuholníku s jedným premenným vrcholom
priradí jeho ťažisko je afinné zobrazenie. Pozrite si dôkaz, že takéto zobrazenie je afinné
Tu.
Zobrazenie
![f f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ce40937fdfbd06b8a15244e102a09356.png)
![\small \mathbb E_2 \small \mathbb E_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6361000451a13c2ea0a255acc82f85ff.png)
![\small X \in \overleftrightarrow {PQ} \small X \in \overleftrightarrow {PQ}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/65df975ae01d89933987a27791b1adfe.png)
![\small f(X)=\frac{1}{3}A+ \frac{1}{3}B +\frac{1}{3}X \small f(X)=\frac{1}{3}A+ \frac{1}{3}B +\frac{1}{3}X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/43bd43e40fc99a7f798434dade986ae1.png)