Planimetria a stereometria

Euklidovský priestor - max. 18 (=9+9) bodov

1. Je daná kocka $\small ABCDEFGH$ a na nej niektoré ďalšie body (viď zadanie nižšie). Určte vzájomnú polohu šiestich dvojíc objektov podľa zadania a v prípade rôznobežnosti rozhodnite aj o kolmosti. Nájdite tiež tri rôzne roviny kolmé na danú rovinu, ktoré sa dajú zostrojiť pomocou už vyznačených bodov. Zadanie: TU.
   Vaše odpovede zapíšte do pripraveného hárka (neodovzdávajte GeoGebra-súbor).
   
   
2. Je daný kváder $\small ABCDEFGH$ s rozmermi $\small \vert AB\vert = 12\ cm,  \vert BC \vert = 8\ cm$ a $\small \vert AE\vert = 7\ cm$ a bod $\small P$, ktorý sa nachádza na polpriamke $\small EF$, pričom platí $\small \vert EF\vert : \vert FP\vert = 2:1$. Zadanie TU.
   (a) Vypočítajte vzdialenosť bodov $\small D, P$.
   (b) Určte vzdialenosť bodu $\small P$ od priamky $\small \overleftrightarrow{GH}$.
   (c) Zistite vzdialenosť bodu $\small P$ od roviny $\small \overleftrightarrow{EFG}$.
   (d) Aká je vzdialenosť polpriamky $\small \overrightarrow{EP}$ od úsečky $\small AB$ ?
   Prehľadné náčrty, výpočty a riešenia zapíšte na pripravený hárok (neodovzdávajte GeoGebra-súbor).

Voľné rovnobežné premietanie (VRP) - max. 14 bodov
Vo VRP zostrojte obraz $\small T'$ kolmého hranola $\small T$ s podstavou tvorenou dvomi trojuholníkmi $\small ASC$ a $\small SBD$, ktorých (pôvodné) vrcholy $\small A, B$ sú narysované v zadaní nižšie a zároveň platí, že
- vrchol $\small S$ je stredom úsečky $\small AB$,
- trojuholník $\small ASC$ je rovnostranný, 
- trojuholník $\small SBD$ je rovnoramenný s ramenami dĺžky 7 cm,
- oba trojuholníky ležia v rovnakej polrovine vzhľadom na priamku $\small AB$.
Výška telesa je daná posuvníkom $\small v$ (najprv ho treba vytvoriť) nadobúdajúcim hodnoty 1 cm až 15 cm (s krokom 0,1).
Zadanie a repér: TU.
Odovzdajte GeoGebra-súbor (prípadne papier) so zostrojeným telesom $T'$.

Rezy telies - max. 8 bodov
Zostrojte rez kocky $\small ABCDEFGH$ rovinou $\small KLM$. Výsledný rez vyznačte tak, aby bol správny aj po zmene polohy bodov $\small K, L, M$. Zadanie: TU.
Odovzdajte GeoGebra-súbor s rezom a na pripravený hárok napíšte, ktorý mnohouholník ho tvorí (vymenovaním jeho vrcholov).

Bonus - max. 3 body
V kópii Vášho riešenia úlohy s VRP vyznačte hrany ihlanu takého, že:
     - má konvexnú podstavu tvorenú všetkými vrcholmi hornej podstavy telesa $\small T'$ (teda podstava ihlanu je konvexným obalom hornej podstavy telesa $\small T'$),
     - jeho vrchol je zhodný s vrcholom $\small S'$ v dolnej podstave telesa $\small T'$ (teda obrazom bodu $\small S$ vo VRP).
Odovzdajte GeoGebra-súbor s vyznačeným ihlanom a na pripravený hárok napíšte, koľko vrcholov, hrán a stien má.